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[答962] 正の場合の最小値

ヤドカリ

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[答962] 正の場合の最小値


 x>0,y>0,z>0,2x+3y+6z=4 のとき、6/x+2/y+1/z の最小値は?


[解答1]

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 (2x+3y+6z)(6/x+2/y+1/z)≧{√(2x)・√(6/x)+√(3y)・√(2/y)+√(6z)・√(1/z)}2

 4(6/x+2/y+1/z)≧(2√3+√6+√6)2 、6/x+2/y+1/z≧(2√3+2√6)2/4 、

 4/x+2/y+1/z≧9+6√2 、最小値は 9+6√2 です。

 等号が成り立つのは、2x:3y:6z=6/x:2/y:1/z 、x2/3=3y2/2=6z2

 x2/18=y2/4=z2 、x:y:z=3√2:2:1 、x=(3√2)z,y=2z 、

 2x+3y+6z=4 より、(6√2+12)z=4 、z=(2-√2)/3,x=2(√2-1),y=2(2-√2)/3 のときです。


[解答2]

 (2x+3y+6z)(6/x+2/y+1/z)=12+4x/y+2x/z+18y/x+6+3y/z+36z/x+12z/y+6

  =24+3y/z+12z/y+36z/x+2x/z+4x/y+18y/x

 相加・相乗平均の関係により、

 3y/z+12z/y≧2√36=12,36z/x+2x/z≧2√72=12√2,4x/y+18y/x≧2√72=12√2 だから、

 (2x+3y+6z)(6/x+2/y+1/z)≧36+24√2 、4(4/x+2/y+1/z)≧36+24√2 、

 4/x+2/y+1/z≧9+6√2 、最小値は 9+6√2 です。

 等号が成り立つのは、3y/z=12z/y,36z/x=2x/z,4x/y=18y/x のときで、

 x2/18=y2/4=z2 、x:y:z=3√2:2:1 、x=(3√2)z,y=2z 、

 2x+3y+6z=4 より、(6√2+12)z=4 、z=(2-√2)/3,x=2(√2-1),y=2(2-√2)/3 のときです。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

いい色の実ですね~

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
コーシーシュワルツの式は万能ね☆
ベクトルの内積から...
(a,b,c)(x,y,z)
=ax+by+cz=√(a^2+b^2+c^2)*√(x^2+y^2+z^2)*cosθ
so...
(ax+by+cz)^2<=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)
と考えればいいと覚えてますけど...

2個のときは…(ax+by)^2<=(a^2+b^2)(x^2+y^2) だけど…
いわゆる、4abxy<=(ax+by)^2 という相加相乗の式がでて来ない…?

展開式で相加相乗を使えばよかったのね ^^;
わたしゃ遠回りぐるぐる ^^;; Orz~

樹☆  
No title

こんにちは
今年は不作だったとか・・でも甘かったです。
すごく美味しそうな色合いです。

ニリンソウ  
No title

みかんかポンカンか?
柑橘類は解らない・・・ご自宅でしょうか。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
橘の実です。仰る通り、美しい色の実がたくさんなっていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
コーシー・シュワルツの不等式は2次関数の判別式で証明できます。
逆に、コーシー・シュワルツの不等式からn次元で2つのベクトルのなす角が考えられます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真では分かりにくいと思いますが、橘の実です。
初詣のときに住吉大社で綺麗な色が目立ちましたので撮りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
確かに柑橘類は分かりにくいですね。
アップが遅くなりましたが、この実は住吉大社に初詣に行って撮ったものです。

tsuyoshik1942  
No title

「解答1,2」とも適用できませんでした。
とくに、相加相乗平均は何回も勉強させていただき、会得できたつもりでいたのでがっくりです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
問題数が増えてくると同じネタがかぶることが多くなります。
このブログでは定番の相加相乗平均ですが、活用できればいいですね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
橘の実 赤く色付いて奇麗ですね
橘は余り見かけることが出来ませんね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
橘はこちらでもあまり見ることがありません。
住吉大社の境内に樹があり、実が沢山ついていました。