[答962] 正の場合の最小値
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[答962] 正の場合の最小値
x＞0，y＞0，z＞0，2x＋3y＋6z＝4 のとき、6/x＋2/y＋1/z の最小値は？
[解答1]
コーシー･シュワルツの不等式により、
(2x＋3y＋6z)(6/x＋2/y＋1/z)≧{√(2x)･√(6/x)＋√(3y)･√(2/y)＋√(6z)･√(1/z)}2 、
4(6/x＋2/y＋1/z)≧(2√3＋√6＋√6)2 、6/x＋2/y＋1/z≧(2√3＋2√6)2/4 、
4/x＋2/y＋1/z≧9＋6√2 、最小値は 9＋6√2 です。
等号が成り立つのは、2x：3y：6z＝6/x：2/y：1/z 、x2/3＝3y2/2＝6z2 、
x2/18＝y2/4＝z2 、x：y：z＝3√2：2：1 、x＝(3√2)z，y＝2z 、
2x＋3y＋6z＝4 より、(6√2＋12)z＝4 、z＝(2－√2)/3，x＝2(√2－1)，y＝2(2－√2)/3 のときです。
[解答2]
(2x＋3y＋6z)(6/x＋2/y＋1/z)＝12＋4x/y＋2x/z＋18y/x＋6＋3y/z＋36z/x＋12z/y＋6
＝24＋3y/z＋12z/y＋36z/x＋2x/z＋4x/y＋18y/x
相加･相乗平均の関係により、
3y/z＋12z/y≧2√36＝12，36z/x＋2x/z≧2√72＝12√2，4x/y＋18y/x≧2√72＝12√2 だから、
(2x＋3y＋6z)(6/x＋2/y＋1/z)≧36＋24√2 、4(4/x＋2/y＋1/z)≧36＋24√2 、
4/x＋2/y＋1/z≧9＋6√2 、最小値は 9＋6√2 です。
等号が成り立つのは、3y/z＝12z/y，36z/x＝2x/z，4x/y＝18y/x のときで、
x2/18＝y2/4＝z2 、x：y：z＝3√2：2：1 、x＝(3√2)z，y＝2z 、
2x＋3y＋6z＝4 より、(6√2＋12)z＝4 、z＝(2－√2)/3，x＝2(√2－1)，y＝2(2－√2)/3 のときです。
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