[答962] 正の場合の最小値
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[答962] 正の場合の最小値
x>0,y>0,z>0,2x+3y+6z=4 のとき、6/x+2/y+1/z の最小値は?
[解答1]
コーシー・シュワルツの不等式により、
(2x+3y+6z)(6/x+2/y+1/z)≧{√(2x)・√(6/x)+√(3y)・√(2/y)+√(6z)・√(1/z)}2 、
4(6/x+2/y+1/z)≧(2√3+√6+√6)2 、6/x+2/y+1/z≧(2√3+2√6)2/4 、
4/x+2/y+1/z≧9+6√2 、最小値は 9+6√2 です。
等号が成り立つのは、2x:3y:6z=6/x:2/y:1/z 、x2/3=3y2/2=6z2 、
x2/18=y2/4=z2 、x:y:z=3√2:2:1 、x=(3√2)z,y=2z 、
2x+3y+6z=4 より、(6√2+12)z=4 、z=(2-√2)/3,x=2(√2-1),y=2(2-√2)/3 のときです。
[解答2]
(2x+3y+6z)(6/x+2/y+1/z)=12+4x/y+2x/z+18y/x+6+3y/z+36z/x+12z/y+6
=24+3y/z+12z/y+36z/x+2x/z+4x/y+18y/x
相加・相乗平均の関係により、
3y/z+12z/y≧2√36=12,36z/x+2x/z≧2√72=12√2,4x/y+18y/x≧2√72=12√2 だから、
(2x+3y+6z)(6/x+2/y+1/z)≧36+24√2 、4(4/x+2/y+1/z)≧36+24√2 、
4/x+2/y+1/z≧9+6√2 、最小値は 9+6√2 です。
等号が成り立つのは、3y/z=12z/y,36z/x=2x/z,4x/y=18y/x のときで、
x2/18=y2/4=z2 、x:y:z=3√2:2:1 、x=(3√2)z,y=2z 、
2x+3y+6z=4 より、(6√2+12)z=4 、z=(2-√2)/3,x=2(√2-1),y=2(2-√2)/3 のときです。
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