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[答963] 四角錐の面角

ヤドカリ

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[答963] 四角錐の面角


 側面どうしの面角が 120゚ で 体積が 108√3 である正四角錐の2種類の辺の長さは?

 また、側面と底面の面角は?

 面角というのは、図の展開図を組み立てたときの赤い線どうし,緑の線どうしの角のことです。


[解答1]

 左中図のように、赤い線,緑の線を頂点を通るように描き直します。

 側面は二等辺三角形ですが、その等辺を a ,底辺を 2b とすれば、高さは √(a2-b2) です。

 底面の正方形の対角線の長さは (2√2)b になり、側面に描かれた赤い線の長さを c とすれば、

 辺の長さが (2√2)b,c,c の二等辺三角形の角が 120゚,30゚,30゚ だから、

 (2√2)b:c=√3:1 、(2√2)b=(√3)c 、8b2=3c2 になります。

 また、側面の二等辺三角形の面積は、b√(a2-b2)=ac/2 だから、b2(a2-b2)=a2c2/4 、

 3b2(a2-b2)=3c2a2/4 、3b2(a2-b2)=8b2a2/4 、

 3(a2-b2)=2a2 、a2=3b2 、a=(√3)b です。

 正四角錐の高さは 辺の長さが a,a,(2√2)b の二等辺三角形の高さに等しく、

 √(a2-2b2)=√(3b2-2b2)=b だから、

 正四角錐の体積は (2b)2・b/3=108√3 となって、b3=81√3 、b=3√3 です。

 a=(√3)b で、2種類の辺の長さは a,2b だから、9,6√3 です。


 次に、側面と底面の面角は 等辺が √(a2-b2),底辺が 2b の二等辺三角形の底角です。

 等辺と底辺の比は、√(a2-b2):2b=√(3b2-b2):2b=√2:2=1:√2 、底角は 45゚ です。


[解答2]

 下図のように 側面どうしの面角が 120゚ である正四角錐を6個組み合わせれば 立方体が出来ます。

 一方の辺は この立方体の1辺でこれを x とすれば x3=6・108√3=216・3√3 、x=6√3 です。

 他方の辺は この立方体の対角線の 1/2 で、(6√3)・(√3)/2=9 です。

 側面と底面の面角は 明らかに 45゚ です。

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Comments 14

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樹☆  
No title

おはようございます。
ランの花は豪華に感じますね。
シンビジュームもすてきです。

ひとりしずか  
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この時期花屋さんに行かないと見れない…

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
面角が120°ということは3個合わせたら360°ということなんだとこの立体図で了解できました☆
わたしゃ...一歩一歩で求めました…^^; Orz~

アキチャン  
No title

おはようございます。
シンビジューム、いろいろな種がありますね。

ニリンソウ  
No title

シンピは不思議なり・・
家に入れるのが面倒になったシンピの鉢を夏も冬も
凍っても外に出しっぱなしが花が付いた。
寒いから徐々にゆっくりですがあと十日もしたら咲きそう

生きたいと思う力は凄いのです。

ナイス

こっこちゃん  
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シンビジュウム 豪華な花で

長持ちしてくれるので嬉しい花ですよね

ナイス☆!(^^)!

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シンビジウムに限らず、蘭は豪華だと思います。
都市緑化センターで見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花屋さんでも見られますね。
私は都市緑化センターに行って、見ました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この図は、角錐の体積が、底面積と高さが等しい角柱の体積の
1/3 になることの一例ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シンビジウムに限らず、蘭は沢山の種類があります。
好事家なら品種名まで分かるのでしょうね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
シンビジウムは冬の定番の一つですネ
今宮崎ブーゲンビリア空港でもいっぱいのシンビジウムが並んでいます

奇麗で花もちも良いので重宝される花ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
シンビジウムはそんなに強いのですか。
育てないで見ているだけの私には知りませんでした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
そう言われると、長く咲いていますね。
私は出かけて行って見るだけですので、そのように感じませんでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ブーゲンビリア空港でもいっぱい見られるのですか。
やはり、室内で観賞するのが合う花ですね。