[答963] 四角錐の面角

[答963] 四角錐の面角


　側面どうしの面角が 120ﾟ で 体積が 108√3 である正四角錐の２種類の辺の長さは？

　また、側面と底面の面角は？

　面角というのは、図の展開図を組み立てたときの赤い線どうし，緑の線どうしの角のことです。


[解答1]

　左中図のように、赤い線，緑の線を頂点を通るように描き直します。

　側面は二等辺三角形ですが、その等辺を a ，底辺を 2b とすれば、高さは √(a²－b²) です。

　底面の正方形の対角線の長さは (2√2)b になり、側面に描かれた赤い線の長さを c とすれば、

　辺の長さが (2√2)b，c，c の二等辺三角形の角が 120ﾟ，30ﾟ，30ﾟ だから、

　(2√2)b：c＝√3：1 、(2√2)b＝(√3)c 、8b²＝3c² になります。

　また、側面の二等辺三角形の面積は、b√(a²－b²)＝ac/2 だから、b²(a²－b²)＝a²c²/4 、

　3b²(a²－b²)＝3c²a²/4 、3b²(a²－b²)＝8b²a²/4 、

　3(a²－b²)＝2a² 、a²＝3b² 、a＝(√3)b です。

　正四角錐の高さは 辺の長さが a，a，(2√2)b の二等辺三角形の高さに等しく、

　√(a²－2b²)＝√(3b²－2b²)＝b だから、

　正四角錐の体積は (2b)²･b/3＝108√3 となって、b³＝81√3 、b＝3√3 です。

　a＝(√3)b で、２種類の辺の長さは a，2b だから、9，6√3 です。


　次に、側面と底面の面角は 等辺が √(a²－b²)，底辺が 2b の二等辺三角形の底角です。

　等辺と底辺の比は、√(a²－b²)：2b＝√(3b²－b²)：2b＝√2：2＝1：√2 、底角は 45ﾟ です。


[解答2]

　下図のように 側面どうしの面角が 120ﾟ である正四角錐を６個組み合わせれば 立方体が出来ます。

　一方の辺は この立方体の１辺でこれを x とすれば x³＝6･108√3＝216･3√3 、x＝6√3 です。

　他方の辺は この立方体の対角線の 1/2 で、(6√3)･(√3)/2＝9 です。

　側面と底面の面角は 明らかに 45ﾟ です。

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