[答963] 四角錐の面角
[答963] 四角錐の面角
側面どうしの面角が 120゚ で 体積が 108√3 である正四角錐の2種類の辺の長さは?
また、側面と底面の面角は?
面角というのは、図の展開図を組み立てたときの赤い線どうし,緑の線どうしの角のことです。
[解答1]
左中図のように、赤い線,緑の線を頂点を通るように描き直します。
側面は二等辺三角形ですが、その等辺を a ,底辺を 2b とすれば、高さは √(a2-b2) です。
底面の正方形の対角線の長さは (2√2)b になり、側面に描かれた赤い線の長さを c とすれば、
辺の長さが (2√2)b,c,c の二等辺三角形の角が 120゚,30゚,30゚ だから、
(2√2)b:c=√3:1 、(2√2)b=(√3)c 、8b2=3c2 になります。
また、側面の二等辺三角形の面積は、b√(a2-b2)=ac/2 だから、b2(a2-b2)=a2c2/4 、
3b2(a2-b2)=3c2a2/4 、3b2(a2-b2)=8b2a2/4 、
3(a2-b2)=2a2 、a2=3b2 、a=(√3)b です。
正四角錐の高さは 辺の長さが a,a,(2√2)b の二等辺三角形の高さに等しく、
√(a2-2b2)=√(3b2-2b2)=b だから、
正四角錐の体積は (2b)2・b/3=108√3 となって、b3=81√3 、b=3√3 です。
a=(√3)b で、2種類の辺の長さは a,2b だから、9,6√3 です。
次に、側面と底面の面角は 等辺が √(a2-b2),底辺が 2b の二等辺三角形の底角です。
等辺と底辺の比は、√(a2-b2):2b=√(3b2-b2):2b=√2:2=1:√2 、底角は 45゚ です。
[解答2]
下図のように 側面どうしの面角が 120゚ である正四角錐を6個組み合わせれば 立方体が出来ます。
一方の辺は この立方体の1辺でこれを x とすれば x3=6・108√3=216・3√3 、x=6√3 です。
他方の辺は この立方体の対角線の 1/2 で、(6√3)・(√3)/2=9 です。
側面と底面の面角は 明らかに 45゚ です。
.