[答964] 複素数の絶対値と関係式

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[答964] 複素数の絶対値と関係式


　|z|/2＝|w|/3＝|3z＋2w|/6≠0 を満たす複素数 z，w について、

　az²＋bzw＋cw²＝0 を満たすように 0でない実数 a，b，c を定めるとき、a：b：c＝？


[解答1]

　|z|/2＝|w|/3＝|3z＋2w|/6＝k とおけば、|z|＝2k，|w|＝3k，|3z＋2w|＝6k になり、

　z＝2k(cosα＋i･sinα) ，w＝3k(cosβ＋i･sinβ) と表されます。

　3z＝6k(cosα＋i･sinα) ，2w＝6k(cosβ＋i･sinβ) だから、

　3z＋2w＝6k｛(cosα＋cosβ)＋i･(sinα＋sinβ)｝になり、

　|3z＋2w|²＝36k²｛(cosα＋cosβ)²＋(sinα＋sinβ)²｝＝36k² だから、

　(cosα＋cosβ)²＋(sinα＋sinβ)²＝1 、

　cos²α＋2cosαcosβ＋cos²β＋sin²α＋sinαsinβ＋sin²β＝1 、

　2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1 、cos(α－β)＝－1/2 です。

　また、3z/(2w)＝(cosα＋i･sinα)/(cosβ＋i･sinβ)＝cos(α－β)＋i･sin(α－β) で、

　一般に、x＝cosθ＋i･sinθ と表されるとき、x－cosθ＝i･sinθ 、

　２乗して x²－2x･cosθ＋cos²θ＝－sin²θ 、x²－2x･cosθ＋1＝0 になりますので、

　｛3z/(2w)｝²－2｛3z/(2w)｝cos(α－β)＋1＝0 、cos(α－β)＝－1/2 を代入し、

　｛3z/(2w)｝²＋｛3z/(2w)｝＋1＝0 、9z²＋6zw＋4w²＝0 、a：b：c＝9：6：4 です。


[解答2]

　z の共役複素数を z' ，w の共役複素数を w' を表すことにします。

　|z|²/4＝|w|²/9＝|3z＋2w|²/36＝k とおけば、|z|²＝4k，|w|²＝9k，|3z＋2w|²＝36k です。

　|3z＋2w|²＝(3z＋2w)(3z'＋2w')＝9zz'＋6zw'＋6wz'＋4ww'

　 ＝9|z|²＋6zw'＋6wz'＋4|w|²＝9･4k＋6zw'＋6wz'＋4･9k＝72k＋6zw'＋6wz' 、

　72k＋6zw'＋6wz'＝36k 、zw'＋6k＋wz'＝0 です。

　両辺に zw を掛ければ、zw･zw'＋zw･6k＋zw･wz'＝0 、|w|²z²＋6kzw＋|z|²w²＝0 、

　9kz²＋6kzw＋4kw²＝0 、9z²＋6zw＋4w²＝0 、a：b：c＝9：6：4 です。


[解答3]

　|z|/2＝|w|/3＝|3z＋2w|/6 より |3z|＝|2w|＝|－3z－2w| 、(3z)＋(2w)＋(－3z－2w)＝0 なので 、

　複素平面上で、3z，2w，－3z－2w で表される点は 原点を中心とする正三角形の頂点になり、

　(3z)³＝(2w)³ 、(3z－2w)(9z²＋6zw＋4w²)＝0 、

　3z≠2w だから 9z²＋6zw＋4w²＝0 、a：b：c＝9：6：4 です。

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