[答964] 複素数の絶対値と関係式
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[答964] 複素数の絶対値と関係式
|z|/2=|w|/3=|3z+2w|/6≠0 を満たす複素数 z,w について、
az2+bzw+cw2=0 を満たすように 0でない実数 a,b,c を定めるとき、a:b:c=?
[解答1]
|z|/2=|w|/3=|3z+2w|/6=k とおけば、|z|=2k,|w|=3k,|3z+2w|=6k になり、
z=2k(cosα+i・sinα) ,w=3k(cosβ+i・sinβ) と表されます。
3z=6k(cosα+i・sinα) ,2w=6k(cosβ+i・sinβ) だから、
3z+2w=6k{(cosα+cosβ)+i・(sinα+sinβ)}になり、
|3z+2w|2=36k2{(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2}=36k2 だから、
(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=1 、
cos2α+2cosαcosβ+cos2β+sin2α+sinαsinβ+sin2β=1 、
2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1 、cos(α-β)=-1/2 です。
また、3z/(2w)=(cosα+i・sinα)/(cosβ+i・sinβ)=cos(α-β)+i・sin(α-β) で、
一般に、x=cosθ+i・sinθ と表されるとき、x-cosθ=i・sinθ 、
2乗して x2-2x・cosθ+cos2θ=-sin2θ 、x2-2x・cosθ+1=0 になりますので、
{3z/(2w)}2-2{3z/(2w)}cos(α-β)+1=0 、cos(α-β)=-1/2 を代入し、
{3z/(2w)}2+{3z/(2w)}+1=0 、9z2+6zw+4w2=0 、a:b:c=9:6:4 です。
[解答2]
z の共役複素数を z' ,w の共役複素数を w' を表すことにします。
|z|2/4=|w|2/9=|3z+2w|2/36=k とおけば、|z|2=4k,|w|2=9k,|3z+2w|2=36k です。
|3z+2w|2=(3z+2w)(3z'+2w')=9zz'+6zw'+6wz'+4ww'
=9|z|2+6zw'+6wz'+4|w|2=9・4k+6zw'+6wz'+4・9k=72k+6zw'+6wz' 、
72k+6zw'+6wz'=36k 、zw'+6k+wz'=0 です。
両辺に zw を掛ければ、zw・zw'+zw・6k+zw・wz'=0 、|w|2z2+6kzw+|z|2w2=0 、
9kz2+6kzw+4kw2=0 、9z2+6zw+4w2=0 、a:b:c=9:6:4 です。
[解答3]
|z|/2=|w|/3=|3z+2w|/6 より |3z|=|2w|=|-3z-2w| 、(3z)+(2w)+(-3z-2w)=0 なので 、
複素平面上で、3z,2w,-3z-2w で表される点は 原点を中心とする正三角形の頂点になり、
(3z)3=(2w)3 、(3z-2w)(9z2+6zw+4w2)=0 、
3z≠2w だから 9z2+6zw+4w2=0 、a:b:c=9:6:4 です。
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