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[答964] 複素数の絶対値と関係式

ヤドカリ

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[答964] 複素数の絶対値と関係式


 |z|/2=|w|/3=|3z+2w|/6≠0 を満たす複素数 z,w について、

 az2+bzw+cw2=0 を満たすように 0でない実数 a,b,c を定めるとき、a:b:c=?


[解答1]

 |z|/2=|w|/3=|3z+2w|/6=k とおけば、|z|=2k,|w|=3k,|3z+2w|=6k になり、

 z=2k(cosα+i・sinα) ,w=3k(cosβ+i・sinβ) と表されます。

 3z=6k(cosα+i・sinα) ,2w=6k(cosβ+i・sinβ) だから、

 3z+2w=6k{(cosα+cosβ)+i・(sinα+sinβ)}になり、

 |3z+2w|2=36k2{(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2}=36k2 だから、

 (cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=1 、

 cos2α+2cosαcosβ+cos2β+sin2α+sinαsinβ+sin2β=1 、

 2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1 、cos(α-β)=-1/2 です。

 また、3z/(2w)=(cosα+i・sinα)/(cosβ+i・sinβ)=cos(α-β)+i・sin(α-β) で、

 一般に、x=cosθ+i・sinθ と表されるとき、x-cosθ=i・sinθ 、

 2乗して x2-2x・cosθ+cos2θ=-sin2θ 、x2-2x・cosθ+1=0 になりますので、

 {3z/(2w)}2-2{3z/(2w)}cos(α-β)+1=0 、cos(α-β)=-1/2 を代入し、

 {3z/(2w)}2+{3z/(2w)}+1=0 、9z2+6zw+4w2=0 、a:b:c=9:6:4 です。


[解答2]

 z の共役複素数を z' ,w の共役複素数を w' を表すことにします。

 |z|2/4=|w|2/9=|3z+2w|2/36=k とおけば、|z|2=4k,|w|2=9k,|3z+2w|2=36k です。

 |3z+2w|2=(3z+2w)(3z'+2w')=9zz'+6zw'+6wz'+4ww'

  =9|z|2+6zw'+6wz'+4|w|2=9・4k+6zw'+6wz'+4・9k=72k+6zw'+6wz' 、

 72k+6zw'+6wz'=36k 、zw'+6k+wz'=0 です。

 両辺に zw を掛ければ、zw・zw'+zw・6k+zw・wz'=0 、|w|2z2+6kzw+|z|2w2=0 、

 9kz2+6kzw+4kw2=0 、9z2+6zw+4w2=0 、a:b:c=9:6:4 です。


[解答3]

 |z|/2=|w|/3=|3z+2w|/6 より |3z|=|2w|=|-3z-2w| 、(3z)+(2w)+(-3z-2w)=0 なので 、

 複素平面上で、3z,2w,-3z-2w で表される点は 原点を中心とする正三角形の頂点になり、

 (3z)3=(2w)3 、(3z-2w)(9z2+6zw+4w2)=0 、

 3z≠2w だから 9z2+6zw+4w2=0 、a:b:c=9:6:4 です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

おはようございます
一瞬造花?と思うような鮮やかな色。
花粉を取り除いてるから、本物ですよね?

蘭が続いてるからメインはオンシジウムですか?

ひとりしずか  
No title

積雪10㎝の当地、大阪はどうですか?
せぇいっぱい開花の花に暖をもらいました(気温-1℃)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
図形的=[解答3]もどきにしか考えられませんでしたが…
スマートに言えず…^^;
恒等式として…特殊化してしまいましたとさ Orz~

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
豪華なカサブランカでしょうか!?
ピンクの花で黄色のオンシジウムとのコラボがいいですね

ナイス♪♪

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗な色に魅せられてます(o^-^o)

風 草  
No title

甘い香りが漂ってきそうですね。
今日は冷え込んでますが、心を温めてくれるお花に癒されます。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

温室はいいですね~
春の香りがしてきます百合、後ろの黄色もいいね
ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
都市緑化センターに飾られていました。
メインは写っている花全部ですょ。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
此方は、今朝は雨でした。
関東以北は雪が積もっているそうですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
図形の意味を考えれば[解答3]ですが、
式だけで等価な内容を導いたのが[解答1]です。
このような式変形が自在にできるといいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
カサブランカといえば白を連想しますが、何種類かの色がありますね。
カサブランカはスペイン語で「白い家」の意味だそうです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
冬の花の少ない時期にたくさんの花を見られるのがいいですね。
色とりどりの花が気持ちを明るくしてくれます。

ヤドカリ  
No title

風草さん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
九州北部も冷え込んで雪も積もっているのでしょうか?
明朝はもっと冷えるそうですので、ご注意ください。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
温室でなく、都市緑化センターの玄関(入口)に置いてあったものです。
これだけたくさんの花が飾られていると気持ちが明るくなります。

こっこちゃん  
No title

カサブランカは すごく香りがキツイデスヨネ

玄関入り口に 豪華ですね ナイス☆!(^^)!

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「病は気から」といいますように、気持ちが晴れると体調もよくなります。
そういう意味でこのような花も大切な栄養ですね。