[答965] 曲線と接線とで囲まれる部分
[答965] 曲線と接線とで囲まれる部分
y=x4-10x3+33x2-35x+85 のグラフにおいて、点(2,83)における接線の式は?
また、このグラフと求めた接線で囲まれる2つの部分の面積の和 S は?
[解答]
y'=4x3-30x2+66x-35 で x=2 のとき y'=9 だから、
接線は y-83=9(x-2) 、y=9x+65 として求められますが、
x4-10x3+33x2-35x+85 を (x-2)2 で割ると、
商が x2-6x+5=(x-1)(x-5) で 余りが 9x+65 だから、
y=(x-2)2(x-1)(x-5)+9x+65 になって、y=9x+65 と x=2 のところで接し、
x=1,5 のところで交わることが分かります。
従って、 S=-∫15 (x-2)2(x-1)(x-5)dx になり、
t=x-2 とおけば、
S=-∫-13 t2(t+1)(t-3)dt=∫-13 (-t4+2t3+3t2)dt=-(1/5)[t5]-13+(1/2)[t4]-13+[t3]-13
=-(1/5)・244+(1/2)・80+28=96/5 です。
☆ 微分をしないで接線の方程式を求める方法の紹介です。
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