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[答965] 曲線と接線とで囲まれる部分

ヤドカリ

ヤドカリ



[答965] 曲線と接線とで囲まれる部分


 y=x4-10x3+33x2-35x+85 のグラフにおいて、点(2,83)における接線の式は?

 また、このグラフと求めた接線で囲まれる2つの部分の面積の和 S は?


[解答]

 y'=4x3-30x2+66x-35 で x=2 のとき y'=9 だから、

 接線は y-83=9(x-2) 、y=9x+65 として求められますが、

 x4-10x3+33x2-35x+85 を (x-2)2 で割ると、

 商が x2-6x+5=(x-1)(x-5) で 余りが 9x+65 だから、

 y=(x-2)2(x-1)(x-5)+9x+65 になって、y=9x+65 と x=2 のところで接し、

 x=1,5 のところで交わることが分かります。

 従って、 S=-∫15 (x-2)2(x-1)(x-5)dx になり、

 t=x-2 とおけば、

 S=-∫-13 t2(t+1)(t-3)dt=∫-13 (-t4+2t3+3t2)dt=-(1/5)[t5]-13+(1/2)[t4]-13+[t3]-13

  =-(1/5)・244+(1/2)・80+28=96/5 です。


☆ 微分をしないで接線の方程式を求める方法の紹介です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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花1輪・・・
絵のようです!

-  
No title

はじめまして。問題の数がすごいですね。

樹☆  
No title

おはようございます。

今が見ごろですね。
先日落ち椿をみつけました。
落ちたままでもきれいでした。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
なるほどです♪
こういう発想は面白いので、教科書にも載せて欲しいですね☆
微分を習ったら、文字式を習ったあと思考が乏しくなってしまうのと似た状況になるような気がするもので…^^;…Orz~
昨日は早く寝たのに...まだ眠いのはどうしてなんでしょ…^^;;

ニリンソウ  
No title

椿ね~いろいろあるけど
やっぱりこの赤、この形が一番馴染みがあるわね。
丁度いい咲き具合。
ナイス

さっちゃんこ  
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こんばんは
今が見頃の綺麗な椿ですネ
シンプルな中にも気品がありますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私は椿を撮ることがあまりなかったのですが、
姿良く咲いていましたので撮る気になりました。

ヤドカリ  
No title

ang*****さん、初めまして。
早速のコメントをありがとうございます。
最初はいつまで続くか不安でしたが、
6年半でこれだけの問題数になりました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
冬に咲く数少ない花のひとつですね。
姿を崩さず、花が落ちるのも風情があります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この解き方を気に入っていただけたでしょうか?
そちらにもコメントしますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
子供の頃から馴染みある花だけに、今まであまり撮りませんでした。
よく見ると、素敵な花ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、椿の花は冬が見頃で、シンプルながら気品がありますね。
葉の緑も濃いですね。

-  
No title

やどかりさん、最初に不安があったとは思えないです。やっぱり続けることって重要なことですね。

ヤドカリ  
No title

ang*****さん、連日のコメントをありがとうございます。
最初は不安でしたので、
まず1週間は毎日投稿することを決意し実行したことを
思い出しました。