[答965] 曲線と接線とで囲まれる部分

[答965] 曲線と接線とで囲まれる部分


　y＝x⁴－10x³＋33x²－35x＋85 のグラフにおいて、点(2，83)における接線の式は？

　また、このグラフと求めた接線で囲まれる２つの部分の面積の和 S は？


[解答]

　y'＝4x³－30x²＋66x－35 で x＝2 のとき y'＝9 だから、

　接線は y－83＝9(x－2) 、y＝9x＋65 として求められますが、

　x⁴－10x³＋33x²－35x＋85 を (x－2)² で割ると、

　商が x²－6x＋5＝(x－1)(x－5) で 余りが 9x＋65 だから、

　y＝(x－2)²(x－1)(x－5)＋9x＋65 になって、y＝9x＋65 と x＝2 のところで接し、

　x＝1，5 のところで交わることが分かります。

　従って、 S＝－∫₁⁵ (x－2)²(x－1)(x－5)dx になり、

　t＝x－2 とおけば、

　S＝－∫_-1³ t²(t＋1)(t－3)dt＝∫_-1³ (－t⁴＋2t³＋3t²)dt＝－(1/5)[t⁵]_-1³＋(1/2)[t⁴]_-1³＋[t³]_-1³

　 ＝－(1/5)･244＋(1/2)･80＋28＝96/5 です。


☆ 微分をしないで接線の方程式を求める方法の紹介です。

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