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[答966] 正三角形と7個の円

ヤドカリ

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[答966] 正三角形と7個の円


 図のように、1個の正三角形と7個の円があり、同じ色の円は同じ大きさです。

 ピンクの円の中心は正三角形の頂点で、オレンジの円は正三角形の辺と接していて、

 隣り合うピンクの円とオレンジの円は外接しています。

 また、水色の円は この6個の円すべてに外接しています。

 正三角形の1辺の長さが 48√7 のとき 7個の円の面積の和は?


[解答]

 水色の円の半径を a,ピンクの円の半径を b,オレンジの円の半径を c とすれば、

 (a+2c):(a+b):√{(b+c)2-c2}=1:2:√3 です。

 よって、2(a+2c)=a+b 、b=a+4c です。

 また、(a+2c)2:{(b+c)2-c2}=1:3 より、

 3(a+2c)2=(b+c)2-c2 、3(a+2c)2=(a+5c)2-c2 、3a2+12ac+12c2=a2+10ac+24c2

 a2+ac-6c2=0 、(a-2c)(a+3c)=0 、a=2c ,b=a+4c=6c です。

 (a+2c)√3=(48√7)/2 だから、3(a+2c)2=482・7/4 、48c2=48・12・7 、c2=84 、

 求める面積は πa2+3πb2+3πc2=4πc2+108πc2+3πc2=115πc2=9660π になります。


[参考]

 本問では、ピンク,水色,オレンジの円の半径の比は 6:2:1 になりますが、

 下図は算額の問題で、ピンク,水色,オレンジの円の半径の比は 9:3:4 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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透けるような花びらの色と蕾が和みます

樹☆  
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おはようございます
あまりの雪に狼狽しました。

蝋梅の花・・冬枯れの中にあったかい色をみると
ほっとして春の予感がします。香りもいいですね。。

アキチャン  
No title

おはようございます。
2.3日外へは行けず、画像からロウバイの香りを思っています(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
昨日の大寒波にはビックリでしたね

花はどんなに寒くても時が来ると花を付けてくれるのには感謝ですね

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

大雪警報は解除になって
でも交通機関の乱れはまだ収まらない。
安心して山へ行けないのでした。
来月に入ったらロウバイを見に埼玉へ行く予定ですが。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
透明感のある花弁が特徴ですね。
例年なら、梅より先に咲くのですが、今年は梅も早いですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
此方はただただ冷え込んだだけで、雪にはなりませんでした。
春が来るのを楽しみにしています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
愛知県もかなりの雪だったようですね。
湿気の少ない此方は、乾燥注意報が出ています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
南国宮崎でも雪になったようで、ビックリポンですね。
とにかく、すごい寒波でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
雪に慣れたそちらでも交通が乱れましたか。
こちらでそちらのように降ればどうしようもありません。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
立式して計算させちゃいました…^^;
算額の問題はすぐどうやればいいのか思い付かなかったりしますが…
いずれにしても奇麗な問題を思い付いて、自分で解けたものを神社に奉納するという誰かがいつ頃からか始められたのですよねぇ♪
ヤドカリさんはその流れの継承者ともいえますですねぇ ^^☆ Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
算額は綺麗な図形と綺麗な答が大切ですね。
系統だった解き方はあったのでしょうか?