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[答968] 約数の総和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答968] 約数の総和


 自然数 n に対して、n の正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

 例えば S(18)=1+2+3+6+9+18=39 です。

 n=18 のように、S(n) の値が奇数であるような自然数 n は

 1≦n≦1000 の範囲に n=18 を含めて何個? また、そのうちの最大の n の値は?


[解答]

 S(1)=1 だから、n=1 は適します。

 n が 素数 2,p,q,…… (2<p<q<…… ) と 負でない整数 a,b,c,…… を用いて

 n=2a・pb・qc・…… と素因数分解されるものとすると、

 S(n)=(1+2+22+……+2a)(1+p+p2+……+pb)(1+q+q2+……+qc)……

 で、1+2+22+……+2a は a の値に関わらず奇数ですので、

 1+p+p2+……+pb ,1+q+q2+……+qc ,……

 のすべてが 奇数であれば S(n) の値が奇数です。

 2 以外の素数はすべて奇数ですので、b,c,…… は偶数でなければなりません。

 よって、a が偶数であれば n は平方数で、a が奇数であれば n/2 は平方数で、

 S(n) の値が奇数になるのは この形に限ります。

 1≦n≦1000 の範囲では、

 n=12,22,32,……,312 の場合と、 n/2=12,22,32,……,222 の場合があり、

 31+22=53 個、312=961 ,2・222=968 だから、最大は 968 です。


[解答]

 n の 約数のうち 偶数を除いて加えても 約数の和が偶数であるか奇数であるかは不変で、

 n=2k・m (mは奇数) とすれば、n の奇数の約数の和は S(m) です。

 m の約数 d が d<√m ならば m/d>√m 、d>√m ならば m/d<√m だから、

 √m より小さい約数と大きい約数は同数あります。

 よって、√m が整数、つまり m が平方数であれば √m は m の約数だから、

 このときに限って、S(m) が奇数になり、S(n) も奇数になります。

 2[k/2]・√m=M とおけば、k が偶数のとき n=M2,k が奇数のとき n=2M2

 1≦n≦1000 の範囲では、

 n=12,22,32,……,312 の場合と、 n=2・12,2・22,2・32,……,2・222 の場合があり、

 31+22=53 個、312=961 ,2・222=968 だから、最大は 968 です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

おはようございます
こういうアングルすてきです。
冬を生き抜き春をじっと
待ってる冬枯れの景色は美しいです。
2月もよろしくです。

ひとりしずか  
No title

木々に囲まれ見上げる青い空、好きな構図

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
なはっ☆
わたしゃ何度も数えちゃいましたわ…^^;;
熟読玩味ぃ~☆ Orz~

アキチャン  
No title

おはようございます。
つられて、両手を上げてしまいました(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

青い空へ真っすぐ真っすぐ!
気持ちいい写真ですね~~ ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
メタセコイアの真っすぐな姿が好きで、こんな写真にしました。
こちらこそ、今月もよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
すっかり落葉したメタセコイアですので、
間の青空が綺麗に見えました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上手く数えると難しくないですね。
該当する形の数の数え方を工夫してほしい問題でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私はただただ見上げるだけでした。
大きな真っすぐな樹の偉大さを感じます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
メタセコイアは私が好きな樹です。
気持ちよく林立していました。

風 草  
No title

青空に向かって真っ直ぐ伸びていく木々、見ていて気持ちがいいです。
落葉している時期だからこその風景ですね。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!をありがとうございます。
落葉の季節に撮れる花があまりなくて、
好きなメタセコイアを下から撮りました。
スッキリした写真になるものですね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは♪
青空に向かって真っ直ぐに伸びる姿に元気をもらえそうです♪

ナイス♪

こっこちゃん  
No title

メタセコイア まっすぐな木を

素敵なアングルに構図

まっすぐ 背が伸びました (笑) ナイス☆!(^^)!

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
真っすぐ伸びるメタセコイアは魅力的です。
素朴ですが姿は美しいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
真っすぐに伸びるメタセコイアを見ていると、
人間が小さく感じてしまいます。