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[答969] 三角形の内部の点と角度

ヤドカリ

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[答969] 三角形の内部の点と角度


 △ABCと内部の点Pがあり、∠ABP=21゚,∠CBP=30゚,∠BCP=9゚,∠ACP=42゚ のとき、∠BAP=?


[解答1]

 一般に、右上図の3個の sin の積と 3個の sin の積は等しいので、

 sin9゚・sin∠CAP・sin21゚=sin30゚・sin42゚・sin∠BAP 、

 sin9゚・sin21゚・sin∠CAP=(1/2)・2sin21゚cos21゚・sin∠BAP 、

 sin9゚・sin∠CAP=sin69゚・sin∠BAP 、

 ∠BAC=78゚ なので、∠BAP=θ (0゚<θ<78゚) とすれば、∠CAP=78゚-θ だから、

 sin9゚sin(78゚-θ)=sin69゚sinθ 、

 θ=9゚ のときこの等式は成り立ち、

 0゚<θ<78゚ の範囲で左辺は単調減少、右辺は単調増加なので、これ以外のθでは成り立ちません。

 よって、∠BAP=9゚ ( ∠CAP=69゚ ) です。

3個の sin の積と 3個の sin の積が等しい理由は、

 △PBCで正弦定理より、PB/sin∠BCP=PC/sin∠CBP 、

 △PCAで正弦定理より、PC/sin∠CAP=PA/sin∠ACP 、

 △PABで正弦定理より、PA/sin∠ABP=PB/sin∠BAP 、

 辺々乗じて、PA・PB・PC/(sin∠BCP・sin∠CAP・sin∠ABP)=PA・PB・PC/(sin∠CBP・sin∠ACP・sin∠BAP) 、

 よって、sin∠BCP・sin∠CAP・sin∠ABP=sin∠CBP・sin∠ACP・sin∠BAP です。


[解答2]

 ∠ABC=∠ACB=51゚ なので、BC=2ACcos51゚ 、

 ∠BPC=141゚ なので、△PBCで正弦定理より、CP/sin∠CBP=BC/sin∠BPC 、

 CP=BCsin∠CBP/sin∠BPC=2ACcos51゚sin30゚/sin141゚=2ACcos51゚sin30゚/cos51゚=AC となり、

 ∠CPA=∠CAP=(180゚-42゚)/2=69゚ 、∠BAP=9゚ です。


[解答3] sbr*d4*5さん,tsuyoshik1942さん,uch*n*anさんの解答を参考に

 ∠ABC=∠ACB=51゚ なので AB=AC 、

 また、BPの延長と∠ACPの二等分線の交点をQとすれば、∠QBC=∠QCB=30゚ なので QB=QC 、

 A,Qはともに辺BCの垂直二等分線上にあることになり、∠BQC=∠CQA=∠AQB=120゚ です。

 二角夾辺相等により、△CQA≡△CQP になり、CA=CP 、

 ∠CPA=∠CAP=(180゚-42゚)/2=69゚ 、∠BAP=9゚ です。


[解答4]

 ∠ABC=∠ACB=51゚ なので AB=AC 、また、∠BAC=180゚-2・51゚=78゚ になり、

 ∠BAC/2=39゚=∠PBC+∠PCB=180゚-∠BPC なので、

 Aを中心とする B,Cを通る円を描き、BCに関してPと対称な点をRとすれば、

 Rもこの円周上にあり、AR=AC 、また、∠ACR=60゚ だから △ARCは正三角形です。

 △BPRも正三角形になるので、A,Pはともに線分BRの垂直二等分線上にあることになり、

 ∠BAP=(∠BAC-∠CAR)/2=(78゚-60゚)/2=9゚ です。 

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

大阪は紅梅盛りなのでしょうか~
現在の気温-2℃、実感が…当地はまだまだ先のよう~

樹☆  
No title

おはようございます。
2月の別名。・・梅見月といいます。

青空に凜として美しくて可愛いです。

ニリンソウ  
No title

美しい紅梅です!
そろそろ春へと期待しつつも外はまだ雪景色。
わずかに出た土で、緑の草さえ愛おしいです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらは、早咲きの梅がたくさん咲いています。
東北はまだまだなんですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
梅見月というのですね。
「うめみづき」変換とすると「梅美月」と出てきました。
これでもいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
こちらは、今年は雪が積もりませんでした。
仰るような風景は年1回あるかないかです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答1]はわたしには新鮮でしたぁ☆
こんな関係になっていたとは...△というシンプルなるフォルムなのに奥深い宝が隠れているのですねぇ♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1]は形式的に式が作れるので、計算力があれば楽ですね。
[解答3][解答4]は中学数学ですが、思いつかないと解けないのが難です。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
白梅より一足早く咲く紅梅 春の訪れ間近のようですね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
紅梅が咲き、そして白梅、少しずつですが、春が近づいています。
立春・雨水・啓蟄・春分と、二十四節気も名前がいいですね。