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[答970] 正十角柱の高さ

ヤドカリ

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[答970] 正十角柱の高さ


 底面の1辺が6である正10角柱の表面積が1辺が6である正20角形の面積と等しいとき、

 この正10角柱の高さは?


[解答1]

 半径が R の円に内接する正n角形の1辺の長さは 2Rsin(180゚/n) 、

 面積は (n/2)R2sin(360゚/n) です。

 正10角柱の高さを h,底面の外接円の半径を a,正20角形外接円の半径を b とします。

 辺の長さに注目し、2a・sin18゚=6 ,2b・sin9゚=6 なので、b・sin9゚=a・sin18゚ 、

 b・sin9゚=2a・sin9゚cos9゚ 、b=2a・cos9゚ です。

 面積に注目し、2・(10/2)a2sin36゚+h・10・2a・sin18゚=(20/2)b2sin18゚ 、

 20ah・sin18゚=10b2sin18゚-10a2sin36゚ 、

 2ah=b2-2a2cos18゚=4a2・cos29゚-2a2cos18゚ 、

 h=2a・cos29゚-a・cos18゚=a(1+cos18゚)-a・cos18゚=a になります。

 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-976.html のように、sin18゚=(√5-1)/4 ですので、

 2a・sin18゚=6 より、a・sin18゚=3 、a(√5-1)/4=3 、a(√5-1)(√5+1)/4=3(√5+1) 、

 h=a=3(√5+1)=9.720820…… です。


[解答2]

 図のように、正20角形を 正10角形1個と二等辺三角形10個と長方形10個に分けます。

 二等辺三角形10個を集めると正10角形ができます。

 求める正10角柱の高さは この二等辺三角形の等辺の長さで、等辺を x とします。

 二等辺三角形の頂角は 36゚,底辺は 6 なので、底角の二等分線を描けば、

 x:6=6:(x-6) 、x(x-6)=36 、x=3+3√5=9.720820…… です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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華やぐ色

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
中学生でも解ける解法納得です ^^☆
問題図とこの🌸(菊桜?)ミミックね♪

ゆうこ つれづれ日記  
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おはよう~~~
なんっと言う名前のお花かな~~
寒い季節に暖かい色のお花っていいですね。
ほっとしました。
ナイス☆

ニリンソウ  
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サイネリアかな?
花色も多数で華やかです。
今日やっとですよ1日青い空で過ごせました。

ナイス

樹☆  
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こんばんは
これは何のおはなですか?
見たことあるようだけど・・

ランタン祭り始まった樹の街です。
賑やか過ぎです。笑

さっちゃんこ  
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こんばんは
鮮やかな色のサイネリアですネ
この花も寒さには余り強くなかったように思いますが
今の時期には良く見かけますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクも薄いと優しさを感じるのですが、
濃いピンクだと華やいだ気分になりますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
算数で解ければ算数で、そうでなくてもできるだけ基本的な内容で、
解けるのがいいと思いますが、三角比は便利ですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
サイネリアという名前の花です。
「パッとサイデリア~♪」ではありませんが、
パッと咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
サイネリアも何色かありますね。
色によって、かなり雰囲気が違います。
それにしてもそちらの青空、よかったですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
サイネリアの花です。明日も色違いをアップしますね。
ところで、
そちらはランタン祭ですか、
ランタンの光に包まれた長崎は幻想的でしょう!!

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
なぜか今の時期、よく見かける花です。
本格的な春を前に華やいだ気分になれる花ですね。