FC2ブログ

Welcome to my blog

[答972] 2種類の数字で表される数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答972] 2種類の数字で表される数


 7桁以下の自然数のうち 98988,1001001 のように2種類の数字だけで表される数の個数は?

 数は十進法で表し、555 のように1種類の数字で表される数や 53 のような式は除きます。


[解答1]

 一般化して、まずk桁の数で2種類の数字だけで表される自然数の個数を求めます。

 使われる数字が 8,9 のように、0を含まない場合、数字の決め方が 92=36 通り、

 その並べ方は、どの桁についても2種類で、全部同じ数字を使う場合を除くから、

 36(2k-2) 個になります。

 使われる数字が 0,1 のように、0を含む場合、数字の決め方が 9 通り、

 その並べ方は、首位以外のどの桁についても2種類で、全部同じ数字を使う場合を除くから、

 9(2k-1-1) 個になります。

 よって、36(2k-2)+9(2k-1-1)=81(2k-1-1) 個です。

 従って、n桁以下の該当する自然数の個数は、次の通りです。

 81(20-1)+81(21-1)+81(22-1)+……+81(2n-1-1)=81(20+21+22+……+2n-1-n)=81(2n-1-n) 。

 本問では、81(27-1-7)=81・120=9720 個です。


[解答2]

 k桁の数で2種類の数字だけで表される自然数の個数を ak とします。

 まず、a1=0 、

 (k+1)桁の数で、1の位を除いても2種類の数字を含むのが 2ak 個で、

 1の位以外の数字が1種類であるのは 81個だから、

 ak+1=2ak+81 、ak+1+81=2(ak+81) 、

 数列{ ak+81 }は公比が2の等比数列になり、

 ak+81=(ak+81)・2k-1 、ak+81=81・2k-1 、ak=81(2k-1-1) 、

 k=1,2,……,n を代入して加えると、

 a1+a2+……+an=81(2n-1-n) 。

 本問では、81(27-1-7)=81・120=9720 個です。


[解答3]

 使う数字を a,b として、まずn桁以下の数で該当するパターンを求めます。

 a,b 2種類の数字をn個並べる方法は、b がn個並ぶものを除いて 2n-1 通り、

 最初のaの前にあるbを全部消し、aだけが並ぶn個を除けば、2n-1-n 通りです。

 aに該当する数字は0以外の9種類,bに該当する数字はa以外の9種類だから、

 9・9(2n-1-n)=81(2n-1-n) 個です。

 本問では、81(27-1-7)=81・120=9720 個です。

.

スポンサーサイト



Comments 8

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

名のあるツバキなんでしょうね…
見事に開花!色も鮮やかで~

樹☆  
No title

わぁ~
赤に白とっても鮮やかな色彩です。

おはようございます
今朝はまた、寒くなりましたが・・
木に春・・つばきが春を告げているようですね。

ニリンソウ  
No title

斑入り椿はたくさんあるけど
この花は見事!
開き具合から侘助でしょうか。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
「月の輪」という品種の椿です。
色のコントラストが鮮やかでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントをありがとうございます。
赤と白はめでたい時の色ですね。
ヒイラギ⇒ツバキ と季節が変わっていくのですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
今年はもう椿を撮る気はなかったのですが、
赤白の模様に魅せられて撮りました。
「月の輪」という品種名が書かれていました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答3]がすっきりね♪
0は別格扱いになりますのね ^^
3種類の数字なら…3進数で...もっとややこしくなりそう…^^; Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1][解答2]が思いつきやすいですが、
[解答3]の考え方にたどりつければ、いちばん簡単だと思います。