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三角形の合同条件と二等辺三角形の底角 #1

ヤドカリ

ヤドカリ

三角形の合同条件と二等辺三角形の底角 #1

日本では以前から、ユークリッド幾何を題材に、中学2年生で「証明」を習うようです。
その証明のもとになる「三角形の合同条件」が証明なしで出て来ます。
教科書の勉強だけではわからない問題ですが、考えてみて下さい。

△ABC において、AB=AC のとき ∠B=∠C であることの証明を3種類書きました。
証明として適切でないものはどれでしょうか?


(1) ∠A の二等分線と BC の交点を D とする
   △ABD と △ACD において、
     AB = AC (仮定)
     AD は共通
    ∠BAD=∠CAD (ADは∠Aの二等分線)
   2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
   △ABD ≡ △ACD
   対応する角は等しいから、∠B=∠C
.
(2) 辺 BC の中点を M とする
   △ABM と △ACM において、
     AB = AC (仮定)
     AM は共通
     BM = CM (MはBCの中点)
   3辺がそれぞれ等しいから、
   △ABM ≡ △ACM
   対応する角は等しいから、∠B=∠C
.
(3) 頂点A から対辺 BC におろした垂線を AH とする
   △ABH と △ACH において、
    ∠AHB=∠AHC=90゚ (AH⊥BC)
     AB = AC (仮定)
     AH は共通
   直角三角形で斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから、
   △ABH ≡ △ACH
   対応する角は等しいから、∠B=∠C

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Comments 20

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

sanrick17さん、コメントとファンポチを有難う御座います。
これからもよろしく。

ヤドカリ  
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crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
どれも合同は最終的にはいえるのですが、導き方を問題にしています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
三角形の合同条件で思いだしたことがあって記事にしました。

ヤドカリ  
No title

atc*ykさん、コメントを有難う御座います。
ひとつは見抜きましたね。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
貴殿もひとつは見抜きましたね。

ヤドカリ  
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crazy_tomboさん、何度もコメントを有難う御座います。
直径にに対する円周角が直角であることはどのように証明するのでしょうか?

スモークマン  
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やどかりさんへ ^^
斜辺の中心=円の中心と頂角を結べば...
二つの二等辺三角形から...
明らかと思われますが...^^;?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、???

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
勘違いしてるかなあ...^^;
直径 AB を斜辺とする円に内接する三角形ABCを直径以外の頂点と円の中心 O でわけてできる二つの二等辺三角形OAC,OBCを考えれば...角OCA+角OBC=90°
そういう質問じゃなかったりして...?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさんへ ^^
二等辺三角形の底角が等しい事を証明するのに、そのことを使っていいの?という問題です。

いっちゃん  
No title

おはようございます。
みなさんの白熱した議論の展開に聞き入って・・・ではなく
見入ってしまいました。。ポチ

ヤドカリ  
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いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
よければ御家族で考えてみて下さい。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、鍵コメントを有難う御座います。
私の意図通りのコメントです。
中学時代に習う、幾何学の最初の部分での危うさを話題にしました。
出題の意図を最初の3行として付け足しました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、鍵コメントを有難う御座います。
訪れて下さる方がわけが分からないと思いますので、次にコピペします。

ヤドカリ  
No title

>二等辺三角形の性質を使わない証明ができれば,
・・・[中略]・・・(3)はこんなのはどうでしょうか。
まず,対応する二つの角が等しい三角形は相似であることを証明します。
これは,その二つの角に挟まれた辺を重ねるように二つの三角形を重ね,
その辺の長い方が短い方の k 倍になっているとすると,
大きい方の三角形全体を 1/k 倍に縮小すれば,縮小した三角形と小さい方の三角形は,
二等辺三角形の性質を使わずに証明できる二角狭辺で合同になります。
そこで,元の大きな三角形と小さな三角形は相似になります。
この相似条件がいえてしまえば,直角三角形の直角の頂点から斜辺に垂線を下ろせば,
この相似条件と式の計算だけを使って,三平方の定理が証明できます。
三平方の定理がいえていれば,斜辺ともう一辺が等しい直角三角形は残りの辺も等しくなるので,
直角と直角を挟む二辺が等しくなり,
二等辺三角形の性質を使わずに証明できる二辺狭角で合同であることがいえます。
ここまで,二等辺三角形の性質は使っていないので,(3)はOKになります。
ホントかなぁ...(^^;

ヤドカリ  
No title

リコメです。

非常に難しく微妙な問題になってきました。よく考えて下さいました。
三平方の定理がいえると、
当然「直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」という合同条件は、
「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件により成り立ちます。
三平方の定理の証明は沢山あり、どんな内容が含まれるのかがよく分かりませんので、
自信ないリコメです。
仰るように、直角の頂点から対辺に垂線をおろすと相似な三角形ができて、証明できるのですが、
単に移動して重ねる「合同」と違って「相似」は非常に説明が難しい概念です。
私には、それを使うことに対する是非が分かりません。
いずれにせよ、二等辺三角形の底角が等しいことの証明の段階で、
「直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」という合同条件を、
成り立つ理由なしで使ってよいということにはならないと私は思いますので、
(3)はNG扱いでよいのでは……。

uch*n*an  
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>3)はNG扱いでよいのでは……。
常識的にはそれが自然だと思います。私も,反対はしません。
先ほどの,三平方の定理経由の直角三角形の合同の証明は,
とにかく捻り出した,という感じで,あまり自然な感じがしません。
初等幾何の体系を構築する際に,こうしたアプローチが無理なく展開できるのか,
という点もチェックしなければなりません。
ただ,このようなことも考えられる,という一例をあげておくのもいいかな,
と思いました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。

「三角形の合同条件」が証明なしで出て来ることに疑問を呈したのがこの記事です。
実は、もう1つの方より(3)が問題点が露骨に出てきますので、
(3)はヒントの心算でつけ加えたものです。
記憶が曖昧ですが、(3)の方は二等辺三角形の底角を使って証明されていたと思います。
もう1つの方も証明があるべきではないでしょうか?
それを紹介する次の記事を書くための導入の記事の心算で書いたものですが、
話が非常に難しい所にまで及んでしまいました。
「初等幾何の体系を構築」なんて大それたことは考えていません。
「平行線の公理」の前に、点や直線の無定義用語をどうするか、
それを調べ、考え、破綻なくまとめるのは、気の遠くなるような事ですから。

スモークマン  
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何が問題なのかが未だわからず...^^;...
あさっての方向の質問かもしれませんが...
三平方の定理を使えば...残りの辺も等しくなり...これだけで即...
三辺が等しいという(2)と同じ合同条件でOKと思うんだけど...^^;?
問題編がわからず...こちらに参加...^^; Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
解答をご覧ください。