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[答973] 垂心の軌跡

ヤドカリ

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[答973] 垂心の軌跡


 平面上に AB=93 である線分ABがあって、∠APB=30゚ を満たすように点Pが動くとき、

 △PABの垂心Hの軌跡全体の長さは?


[解答1]

 座標平面上で A(-a,0),B(a,0),P(p,q),H(x,y) (a>0,q>0) とします。

 ベクトルAP=(p+a,q),ベクトルBP=(p-a,q) のなす角が 30゚ だから、

 (p+a)(p-a)+q2=√{(p+a)2+q2}√{(p-a)2+q2}cos30゚ 、

 2(p2+q2-a2)=(√3)√{(p2-a2)2+2(p2+a2)q2+q4} 、

 よって、p2+q2≧a2 で、

 4(p2+q2-a2)2=3{(p2-a2)2+2(p2+a2)q2+q4} 、

 4(p2+q2-a2)2=3{(p2-a2)2+2(p2-a2)q2+4a2q2+q4} 、

 4(p2+q2-a2)2=3(p2+q2-a2)2+12a2q2 、(p2+q2-a2)2=12a2q2

 p2+q2-a2=2aq√3 、p2+q2-2aq√3+3a2=4a2 、p2+(q-a√3)2=(2a)2 です。

 次に、AB⊥PH だから x=p です。

 また、AP⊥BH だから ベクトル(p+a,q)⊥(x-a,y) 、(p+a)(x-a)+qy=0 、

 (p+a)(p-a)+qy=0 、p2-a2=-qy です。

 p2+q2-a2=2aq√3 に代入し、q2-qy=2aq√3 、q=y+2a√3 です。

 p2+(q-a√3)2=(2a)2 (q>0) に代入し、

 x2+(y+2a√3-a√3)2=(2a)2 (y+2a√3>0) 、x2+(y+a√3)2=(2a)2 (y>-2a√3) 、

 よって、Hの軌跡は 中心が(0,-a√3)で 半径が 2a の円の y>-2a√3 の部分で、

 円弧の 5/6 になり、その長さは 2(2a)π・5/6=5(2a)π/3 です。

 P(p,q) を q>0 に限定しなければ、P,Hの軌跡の長さは2倍の 10(2a)π/3 になります。

 本問では 2a=93 なので、10・93π/3=310π です。


[解答2]

 まず、∠APB=30゚ だから、正三角形のABOを描けば、

 Pの軌跡は 中心がOの優弧AB(端点を含まない)になります。

 直線ABと直線PHの交点をQとすれば、△AQH∽△PQB になるので、

 QA:QP=QH:QB 、QA・QB=QP・QH 、

 ここで、直線ABに関して H と対称な点を H' とすれば、QA・QB=QP・QH' 、

 方べきの定理の逆により、A,B,P,H' は 同一円周上にあります。

 よって、Hの軌跡,H'の軌跡,Pの軌跡は長さが等しく、(2・93π)(5/6)・2=310π です。


[解答3]

 まず、直線ABのに関して平面の片側だけを考えます。

 正三角形OABを作れば、Oは△PABの外心になり、Pの軌跡はOを中心とする半径 93 の円のうち、

 直線ABに関して Oと同じ側にある部分(右図の青の弧)で、円の 5/6 の円弧になります。

 次に、ABの中点をMとすれば、△PABの重心Gは PMを 2:1 に内分する点で、

 Gの軌跡は Mを相似の中心として Pの軌跡を 1/3 に縮小したもの(右図の緑の弧)になります。

 また、O,G,Hは オイラー線上に この順に並び、OH=3OG を満たすので、

 Hの軌跡は Oを相似の中心として Gの軌跡を 3倍に拡大したもの(右図の紫の弧)になります。

 従って、Hの軌跡は Pの軌跡を 平行移動したものになり、その長さは等しくなります。

 直線ABのに関して平面の両側で Hの軌跡の長さは、2・93π・(5/6)・2=310π です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
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キク科の花のように思ったのですが…
シベの黄色がの暖かさを~

ニリンソウ  
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ノースポール一年草なのですね。
種が飛んで翌年も出てくるので毎年楽しめますよ。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花はノースポールです。仰る通り、キク科の花です。
真ん中の黄色が暖かさを感じさせますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
本来は多年草らしいのですが、高温多湿に弱く、
日本では一年草のようです。
たくさんの花がついていました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]に近いけど...もっと初等幾何的に求めました ^^
Pの位置によって垂心が円弧上を動くことの証明が異なってしまいましたけど…^^;…Orz~

樹☆  
No title

こんばんは
ノースボール・・名前も可愛いです。
好きなお花ですよ^^

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
方べきの定理を使わなければ、「もっと初等的」なのかも知れませんが、
きちんと説明を書くと長くなり、この方法にしました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ノースポール(北極)という名前ですが、
中央の黄色が暖かさを感じます。