FC2ブログ

Welcome to my blog

[答975] 2進法回文数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答975] 2進法回文数


 1,3,5,7,9,15,17,21,27,…… は自然数のうち、2進法で表すと回文数になるものを

 小さい方から並べたものです。

 この数列の 61番目の数は? また、61番目までの総和は?


[解答]

 2進法で n桁の自然数の個数を a(n),その和を S(n) とし、

 n桁以下の自然数の個数を Σa(n),その和を ΣS(n) とします。

 例えば、2進法で 5桁 または 6桁の回文数の上3桁を2進法で書けば、

 100,101,110,111 ですので、4個あります。

 一般に、2進法で (2n-1)桁 または (2n)桁の回文数の上n桁を考えることにより、

 a(2n-1)=a(2n)=2n-1 であることが分かりますので、

 (2n-1)桁 または (2n)桁までの回文数は、

 奇数桁のものも偶数桁のものも 1+2+……+2n-1=2n-1 個ずつあります。

 従って、Σa(2n)=2n+1-2 で、Σa(2n-1)=2n+1-2-2n-1=3・2n-1-2 です。

 総和については、S(1)=1 で、

 回文数は一番上の位と一番下の位は必ず 1 で、その他の位は 0,1 が同数ありますので、

 m≧2 のとき、2進法でm桁の数の平均は、

 1+2m-1+(2+4+……+2m-2)/2=1+2m-1+(1+2+……+2m-3)=1+2m-1+2m-2-1=3・2m-2 になり、

 S(m)=3・2m-2・a(m) ですので、

 S(2n-1)=3・22n-3・2n-1=3・23n-4 、S(2n)=3・22n-2・2n-1=3・23n-3

 ただし、S(1)=1 だから S(2・1-1)=3・23・1-4-1/2 です。

 3・23n-4+3・23n-3=9・23n-4 だから、

 ΣS(2n)=(9/2)(8n-1)/(8-1)-1/2=(9・23n-1-8)/7 、

 ΣS(2n-1)=(9・23n-1-8)/7-3・23n-3=(15・23n-3-8)/7 です。

 Σa(2・5)=25+1-2=62 だから、10桁までの回文数は 62 個で、

 62番目は 1111111111(2) ですので、61番目は 1111001111(2)=975 です。

 ΣS(2・5)=(9・214-8)/7=21064 で、62番目は 1111111111(2)=1023 だから、

 61番目までの総和は 21064-1023=20041 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

寒咲アヤメでしょうか~
瑞々しいですね~

アキチャン  
No title

おはようございます。
咲いているのですね。最近散歩していないので、また見れるか楽しみにしておきます(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

寒アヤメスッキリと綺麗な花姿ですね。
寒に咲く種類があるなんて驚きです。
今日も寒い日なんですよ、気温二桁待ってます。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
そっか…^^;
1・・・・・1の間の平均は(2+2^2+…+2^(n-2))/2
と考えればよかったことに合点☆
似た感じでアプローチしてたんだけど...その間の個数とごっちゃな思考になってたようです…^^;;…Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
寒文目が奇麗ですね
今時文目が見れるのも嬉しいですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
散歩の途中で見ました。
水滴がついていて瑞々しく感じます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
散歩していると思わぬ花に出会うことがあります。
いつもと違うコースを歩くのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
梅雨時に美しいアヤメですが、こんな時期に咲いてくれるのは有難いです。
花の写真が少ない時期ですので助かります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
合点して頂いて嬉しいです。
これからも分かり易い解答説明を心がけます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
季節が違うときに見られるのは嬉しいです。
DNAが少しだけ違うのでしょうね。

樹☆  
No title

こんばんは
寒咲アヤメ・・早春の香りですね。
でも・・まだ寒い~~です。
愛猫もオコタから出てきません。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
散歩の途中で出会いました。
花菖蒲やアヤメの季節はたくさんの花が咲いていますが、
寒咲アヤメは花の少ない時期に咲いてくれるのが嬉しいです。