[答978] 9桁の37の倍数
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[答978] 9桁の37の倍数
1,2,3,4,5,6,7,8,9 の数字を1つずつ使ってできる 9!=362880 個の9桁の自然数のうち、
37の倍数で最小のものは? また、最大のものは?
[解答]
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 だから、この9桁の自然数は必ず9の倍数になります。
37の倍数は LCM(9,37)=333 の倍数ですので、
9桁の数の (上3桁)+(中3桁)+(下3桁)=S とすれば、 S は 333の倍数です。
最小のものとして、
(上3桁)を 123 として、(中3桁)に 4,5,6 、(下3桁)に 7,8,9 を使う場合、
123+456+789≦S≦123+654+987 、1368≦S≦1764 、S は 333の倍数だから S=1665 です。
よって、(中3桁)+(下3桁)=1542 、
(下3桁)≦987 なので、(中3桁)≧555 、(中3桁)=564 とすれば (下3桁)=978 、
うまく条件に合いますので、条件に合う最小の自然数は 123564978 です。
また、条件に合う最大の自然数は 1111111110-123564978=987546132 です。
☆ [答734]( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2046.html )の表により、
条件に合う自然数は全部で 9072個あります。
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