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等差×等比 の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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等差×等比 の和

 等差数列{ an }と 1でない定数 r があって、

 数列{ anrn-1 }の初項から第n項までの和 S を求めます。

 S=a1+a2r+a3r2+a4r3+……+an-2rn-3+an-1rn-2+anrn-1
 rS=a1r+a2r2+a3r3+a4r4+……+an-2rn-2+an-1rn-1+anrn になり、

 S-rS=a1+(a2-a1)r+(a3-a2)r2+(a4-a3)r3+……+(an-1-an-2)rn-2+(an-an-1)rn-1-anrn

 等差数列{ an }の項差を d とすれば、

 S-rS=a1+dr+dr2+dr3+……+drn-2+drn-1-anrn

 (1-r)S=a1+dr(1-rn-1)/(1-r)-anrn

 (1-r)2S=a1(1-r)+dr(1-rn-1)-anrn(1-r)

  =a1-a1r+dr-drn-anrn+anrn+1

  =a1+(d-a1)r-(d+an)rn+anrn+1

 S={a1+(d-a1)r-(d+an)rn+anrn+1}/(1-r)2 です。


 このような解答がよく書かれていますが、私はなぜ次のようにしないのか疑問を感じます。


 S=a1+a2r+a3r2+a4r3+……+an-2rn-3+an-1rn-2+anrn-1
 rS=a1r+a2r2+a3r3+a4r4+……+an-2rn-2+an-1rn-1+anrn
 r2S=a1r2+a2r3+a3r4+a4r5+……+an-2rn-1+an-1rn+anrn+1 になり、

 これを用意しておくと、

 S+r2S-2rS=a1+(a2-2a1)r+(a3+a1-2a2)r2+……+(an+an-2-2an-1)rn-1+(an-1-2an)rn+anrn+1

 { an }は等差数列ですので、ak+1+ak-1=2ak が成り立ち、

 S+r2S-2rS=a1+(a2-2a1)r+(an-1-2an)rn+anrn+1

 (1-r)2S=a1+(d-a1)r+(-d-an)rn+anrn+1

 S={a1+(d-a1)r-(d+an)rn+anrn+1}/(1-r)2 です。


小数に直すと美しい分数


 A を定数として、an=An とすれば、

 S=A+2Ar+3Ar2+4Ar3+……+A(n-2)rn-3+A(n-1)rn-2+Anrn-1

 S={A-(A+An)rn+Anrn+1}/(1-r)2 であり、

 -1<r<1 のとき、n→∞ のときの極限は

 A+2Ar+3Ar2+4Ar3+……=A/(1-r)2 です。

 A=0.0001,r=0.01 とすれば、0.00010203040506070809101112……=1/9801 、

 A=0.000111,r=0.001 とすれば、0.000111222333444555666777……=1/8991 、

 0.010121232343454565676787……=1/8991+10/999=91/8991 、

 繰り上がりがあるので途中から乱れて、最終的には循環小数になりますが、

 分母が小さい割には数字がきれいに続きます。

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Comments 15

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ヤドカリ  
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写真の花はヨウラクツツアナナスです。
南米原産の多年草です。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ということは、温室でしょうか。。珍しいお花のよう~(o^-^o)

今、調べましたら、耐寒性が強いとありましたので、今咲いているのですね。
初見です。。

ひとりしずか  
No title

色が暑い国の産を思わせましたが…
珍しいお花を見せていただきm(__)m

さっちゃんこ  
No title

こんにちは!!
妖楽アナナスですネ!!
もう咲いているのですね
かんざしの様にぶら下がった姿が可愛いですネ!!

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
巧い方法ですね☆
特殊な場合であれば…
たとえば…
S=A+2Ar+3Ar^2+……+(n-1)Ar^(n-2)+nAr^(n-1)

その積分は…
T=Ar+Ar^2+Ar^3+…+Ar^n
=A(r-r^(n+1))/(1-r)
((r-r^(n+1))/(1-r))'=(nr^(n+1)-nr^n-r^n+1)/(r-1)^2
so…
S=(T)’=A*(nr^(n+1)-nr^n-r^n+1)/(r-1)^2
でもいいですよね ^^…?

累乗和の公式のどこかのサイトで...微分と積分の関係を使ったものを見た記憶がありますが…ほんわかとしかわからず…^^;
お時間あればその辺りの解説をお願いできればと…
勝手なお願いをしてみたり~m(_ _)m~

こっこちゃん  
No title

我が家にも 科の植物ありますよ

名前わからなかったのにメモしますね ナイス

ニリンソウ  
No title

お仲間の所で見せてもらいました。
珍しい植物ですね。

ナイス

kir*****  
No title

初めて見るすごい方法ですね。
最初の解法は、等差数列だけではなく、階差が簡単になる場合に使える応用範囲の広いものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、温室で見たものです。
私も初見でしたので、紹介のつもりでアップしました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
和つぃも初見でしたので、珍しいと思いました。
色があでやかで南の地方を思わせますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヨウラクツツアナナスの名前を初めて見ました。
なるほど、簪にも見えますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
A,2A,3A,…… の特別な場合は微分でもできますね。
ただ、T=A+Ar+…… とすれば、あとの微分が楽です。
累乗和の公式については以下をご覧ください。
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/21784797.html

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントをありがとうございます。
こっこちゃんさんの所にも咲いているのですか。
名前が分かって良かったですね。
英名の Queen's tears の方が覚えやすいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ニリンソウさんもご覧になったことがあるのですね。
フクシアのように垂れ下がっていました。

ヤドカリ  
No title

kir*****さん、コメントをありがとうございます。
よく書かれている方法は途中で等比数列の和の公式を使う上に
計算がけっこう面倒です。
それを解消するために思いついたのですが、見たことがありませんでした。
an が2次式だったら、S-3rS+3r²S-r³S を使えばいいですね。