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[答979] 距離の差の最大値

ヤドカリ

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[答979] 距離の差の最大値


 空間内に A(-1,2,4),B(8,8,7) と 平面 x+2y-z=14 があって、

 この平面上に |AP-BP| が最大になるように点Pをとるとき、

 点Pの座標は? また、|AP-BP|=?


[解答]

 平面 x+2y-z=14 を 単に平面ということにします。

 f(x,y,z)=x+2y-z-14 とおけば、

 f(-1,2,4)=-15<0,f(8,8,7)=3>0 だから、A,Bは平面に関して反対側にあります。

 平面の法線ベクトルが(1,2,-1)だから、

 平面に関して Bに対称な点を Cとすれば、C(8+t,8+2t,7-t) と表されます。

 BCの中点(8+t/2,8+t,7-t/2)が x+2y-z=14 上にあるので、

 (8+t/2)+2(8+t)-(7-t/2)=14 、17+3t=14 、t=-1 なので、C(7,6,8) です。

 ここで、ベクトルAC=(8,4,4)=4(2,1,1) は、

 平面の法線ベクトル(1,2,-1)と垂直でないので、直線ACは平面と平行になりません。

 ACPが三角形の頂点であれば、|AP-BP|=|AP-CP|<AC 、

 A,Cは平面に関して同じ側なので、A,C,Pが一直線上にあれば、|AP-BP|=|AP-CP|=AC 、

 よって、|AP-BP| が最大になるのは Pが直線ACと平面の交点のときで、最大値は AC です。

 P(-1+2u,2+u,4+u)が x+2y-z=14 上にあるので、

 (-1+2u)+2(2+u)-(4+u)=14 、-1+3u=14 、u=5 なので、P(9,7,9) です。 

 また、|AP-BP|=|AP-CP|=AC=4√(22+12+12)=4√6=9.7979…… です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

サンシュユだったでしょうか~
季節の距離感感じながら、Photoから春を味わい…

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そっかぁ☆
納得ぅ~^^♪
A,Bを焦点とする楕円体はいくらでも大きくなる気がしてたのですが…^^; Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
サンシュユの黄色も春の到来を感じさせます。
春になって見たい花のひとつです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
A,Bが平面の同じ側にあれば解き方を考える必要はありませんね。
納得していただけて嬉しいです。

こっこちゃん  
No title

サンシュ 春の到来ですが

災害を思うと 心痛みますよね

素敵な黄色に ナイス!(^^)!

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
サンシュユ 宮崎の民謡「ひえつき節」に出てくる花ですがその割には宮崎ではこの花が咲いているのを見かけることが少ないです

黄色の可愛い花 ジックリ見てみたいです
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
此方では3月に入るとサンシュユの黄色が目立ち春を感じますが、
TVで流れる東北地方の映像は寒そうです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
調べてみると「ひえつき節」の最初に出てくるのですね。
サンシュユの枝がびっしりと黄色で覆われる姿を、今よく見ます。