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[答980] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答980] 漸化式で表された数列


 a1=1,an-1+an=(2n-1)2 (n=2,3,4,……) で表される数列{ an }について、a7000=?


[解答1]

 a1+a2+a3+a4+a5+a6+……+a6997+a6998+a6999+a7000=32+72+112+……+139952+139992

 a1+a2+a3+a4+a5+a6+……+a6997+a6998+a6999=1+52+92+132+……+139972

 辺々減じて、

 a7000=(3-1)(3+1)+(7-5)(7+5)+(11-9)(11+9)+……+(13999-13997)(13999+13997)

  =2(1+3+5+7+9+11+……+13997+13999)=2・70002=98000000 です。


[解答2]

 ak+ak+1=(2k+1)2 ,ak-1+ak=(2k-1)2 の差をとって、 ak+1-ak-1=8k 、

 nを奇数として、k=2,4,6,……,n-1 を代入して加えると、

 an-a1=16+32+48+……+8(n-1) 、

 an=a1+16+32+48+……+(8n-8)=1+(16+8n-8)(n-1)/2/2=2n2-1 です。

 nが偶数のときは、an=(2n-1)2-an-1=(2n-1)2-{2(n-1)2-1}=2n2 ですので、

 a7000=2・70002=98000000 です。


[解答3]

 ak-1+ak=(2k-1)2 より ak-1+ak=2(k-1)2+2k2-1 、

 両辺に (-1)k,-(-1)k-1 の何れかを掛けて、

 -(-1)k-1ak-1+(-1)kak=-2(-1)k-1(k-1)2+2(-1)kk2+(-1)k-1

 k=2,3,4,……,n を代入して加えると、

 -(-1)a1+(-1)nan=-2(-1)・12+2(-1)nn2+(-1)+(-1)2+(-1)3+……+(-1)n-1

 1+(-1)nan=2+2(-1)nn2+(-1){1-(-1)n-1}/{1-(-1)} 、

 (-1)nan=2(-1)nn2+1/2-(-1)n/2 、 an=2n2+(-1)n/2-1/2 です。

 よって、a7000=2・70002+(-1)7000/2-1/2=98000000 です。


[解答4]

 a1=1,a1+a2=32,a2+a3=52,a3+a4=72,a4+a5=92,a5+a6=112,…… は 図において、

 nが偶数のときは n以下の部分の の個数,nが奇数のときは n以下の部分の の個数 です。

 また、図のように 右と下の辺がの間を通るように正方形を描けば、

 その中のの個数との個数は等しくなります。

 右の辺の上の数(下の辺の左の数)は奇数で、それを n+1 とすれば、正方形内の●の数は (2n)2

 よって、nが偶数のとき、an=(2n)2/2=2n2 、a7000=2・70002=98000000 です。

 なお、nが奇数のときは、an=(2n-1)2-an-1=(2n-1)2-2(n-1)2=2n2-1 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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ラッパズイセンでしょうか~
群れ咲いて賑やかですネ

ニリンソウ  
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ラッパ水仙がみんな同じ方見て!
歌ってる・・・囁いてる・・・・春ですよ♪

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
たくさんの黄色い水仙。。。元気になりますね(o^-^o)

さっちゃんこ  
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こんにちは♪
此の水仙が咲き出すと本格的な春が殺って来ますね♪

朝夕冷え込んでも昼間の風は爽やかな春風に成っているようですね!!

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この頃、いろんな色のラッパスイセンがありますね。
でも、ラッパスイセンといえばこれが馴染み深いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
みんな同じ方向で少しうつむき加減に咲いていました。
仰る通り、春になると、みんなで歌っているようですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
黄色の水仙がよく見られるようになりました。
元気色ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
日本水仙は早くから咲いていますし、もう終わりです。
この黄色の水仙は本格的な春を感じさせます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]でしたが、[解答1]はなるほどです☆
[解答3]はよくわかりましぇん…^^;
[解答4]は貴殿ならではの見え方ねぇ☆
気付けましぇん…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答2]がいちばん気づきやすい解き方だと思います。
[解答1]は漸化式の意味さえ分かっていれば、中学生でも解ける方法だと思います。

樹☆  
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こんばんは
お久しぶりです。
ラッパすいせんの色・・目が覚めるようです。
少し暖かくなってきたと思ったのに
今日はすごく寒かったです。春は何処へ。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
暖かさを感じるために、黄色の花をアップしていました。
今日からだいぶ暖かくなるそうです。