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[答981] 2個の半円と2個の円

ヤドカリ

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[答981] 2個の半円と2個の円


 2個の半円と2個の円を、A,B,P,Q を 中心として、

 半円Aと円P,円Qが外接し、半円Bと円P,円Qが内接し、円Pと円Qが外接し、

 さらに円Qが半円Bの弦(直径)にも接するように描きます。

 PA⊥AB で、半円Aの面積が 18 であるとき、円P,円Q の 面積は?

 図は正確ではありません。


[解答1]

 A,B,P,Q を 中心とする半円や円の半径を a,z,x,y とし、

 直線AB上に QH⊥AB を満たす点Hをとると、

 AP=x+a,AB=z-a,BQ=z-y,PQ=x+y,BP=z-x,AQ=y+a,QH=y です。

 AH2=AQ2-QH2=PQ2-(AP-QH)2 より、

 AQ2-PQ2=QH2-(AP-QH)2 、(AQ+PQ)(AQ-PQ)=AP(2QH-AP) 、

 (x+2y+a)(a-x)=(x+a)(2y-x-a) 、2y(a-x)=(x+a)(2y-2a) 、y(a-x)=(x+a)(y-a) 、

 ay-xy=xy-ax+ay-a2 、2xy=a(x+a) ……(1) です。

 AP2=BP2-AB2=(BP+AB)(BP-AB) より、

 (x+a)2=(2z-x-a)(a-x) 、(x+a)2+(x+a)(a-x)=2z(a-x) 、

 a(x+a)=z(a-x) ……(2) 、ax+a2=az-xz 、x(z+a)=a(z-a) ……(3) です。

 △ABQ は AB=z-a を底辺とすれば、高さは QH=y で、

 3辺が z-a,z-y,y+a で、(z-a+z-y+y+a)/2=z だから、

 その面積は、(z-a)y/2=√{zay(z-y-a)} 、(z-a)√y=2√{za(z-y-a)} 、

 (z-a)2y=4za(z-y-a) 、(z-a)2y+4azy=4za(z-a) 、(z+a)2y=4za(z-a) 、

 (3)を代入して (z+a)2y=4zx(z+a) 、(z+a)y=4zx 、ay=z(4x-y) 、ay(a-x)=z(a-x)(4x-y) 、

 (2)を代入して ay(a-x)=a(x+a)(4x-y) 、y(a-x)=(x+a)(4x-y) 、ay(a-x)=a(x+a)(4x-y) 、

 (1)を代入して ay(a-x)=2xy(4x-y) 、a(a-x)=2x(4x-y) 、a(a-x)=8x2-2xy 、

 (1)を代入して a(a-x)=8x2-a(x+a) 、a2-ax=8x2-ax-a2

 x2=a2/4 、x=a/2 、(1)に代入して、ay=a(a/2+a) 、y=3a/2 です。

 πa2/2=18 だから、πa2=36 なので、

 円Pの面積は πx2=π(a/2)2=πa2/4=36/4=9 、

 円Pの面積は πy2=π(3a/2)2=9πa2/4=9・36/4=81 です。

 なお、z=3a になり、四角形ABQPは長方形になりますので、

 半径が 6 の円に 半径が 3,2,1 の円が図のように内接させることができます。  


[解答2] 大げさですが反転を使うと

 半円A,半円Bの左端を O(0,0),直径をx軸として、

 中心が原点で半径が1の円に関する反転を考えます。

 円Bの反転が直線 x=s-r とすれば、半円Bの右端は(1/(s-r),0),直径は 1/(s-r) 、

 円Aの反転が直線 x=s+r とすれば、半円Aの右端は(1/(s+r),0),直径は 1/(s+r) です。

 また、円P,円Qの反転はこの2直線に接するので、中心は x=s 上にあり、半径は r です。

 更に、円Qはx軸に接するので、その反転もx軸と接し、中心は(s,r)、

 円P,円Qの反転は外接するので、円Pの反転の中心は(s,3r)です。

 よって、円Pの直径は、1/√{(s2+9r2)-r}-1/√{(s2+9r2)+r}=2r/(s2+8r2) 、

 よって、円Qの直径は、1/√{(s2+r2)-r}-1/√{(s2+r2)+r}=2r/s2 です。

 OPの傾きは、{1/(s+r)+2r/(s2+8r2)}/{1/(s+r)}=1+2r(s+r)/(s2+8r2) 、

 これが 3r/s に等しいので、

 1+2r(s+r)/(s2+8r2)=3r/s 、(s2+8r2)s+2rs(s+r)=3r(s2+8r2) 、s3-rs2+10r2s-24r3=0 、

 (s-2r)(s2+rs+12r2)=0 、s=2r になります。

 半円A,半円B,円P,円Qの直径は順に、

 1/(s+r)=1/(3r) ,1/(s-r)=1/r ,2r/(s2+8r2)=1/(6r) ,2r/s2=1/(2r) 、

 その比は 1/(3r):1/r:1/(6r):1/(2r)=2:6:1:3 、面積比は 4/2:36/2:1:9=2:18:1:9 、

 半円Aの面積が 18 だから 9倍して面積は 18,162,9,81 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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セリバオウレン小さな白い花…可憐

アキチャン  
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おはようございます。
少し、背をそるような咲き方のお花は可愛くて好きです(o^-^o)

さっちゃんこ  
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おはようございます♪
セリバオウレンと言うのですか!?
小さいけど可愛い花ですね♪

ナイス♪

こっこちゃん  
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白くて可愛い花ですね

日々素敵な花を探しますね ナイス!(^^)!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
セリバオウレンはもう沢山咲いています。
小さな花ですが春を告げてくれる花です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い小さな花ですので可愛く感じます。
落ち葉の間から芽吹くのはいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
セリバオウレンも春を告げてくれる花のひとつです。
もう沢山の花が咲いています。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
捜すというより、毎年咲く場所を知っているという方が正しいでしょう。
写真を撮ってほしいと花が言っているようです。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
[解答1]と同値だと思いますが…
比なので…a=6として立式…
but...手計算は諦めてPCに計算させましたぁ ^^; Orz
BとHが一致することには気付けてませんでしたが...比から言えましたのね…^^;☆

樹☆  
No title

こんばんは
可愛くて春の妖精見たいです。
スプリング・エフェメラルでしょうか。。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
B,Hがはじめから一致することが分かっていれば簡単ですが、
それを導くのはかなり面倒ですね。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
樹ちゃんは白い花がお好きですね。
春先に咲くこのセリバオウレンも可愛い花です。

ニリンソウ  
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セリバ、キクバ、葉の違いで区別でしょうか
花は同じようですね。
踊り出した様子がいいですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
名前からして葉の違いでしょうね。
見比べないと分かりませんが、機会がありません。