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三角形の合同条件と二等辺三角形の底角 #2

ヤドカリ

ヤドカリ

三角形の合同条件と二等辺三角形の底角 #2

△ABC において、AB=AC のとき ∠B=∠C であることの証明を3種類書きました。
証明として適切でないものはどれでしょうか?


(1) ∠A の二等分線と BC の交点を D とする
   △ABD と △ACD において、
     AB = AC (仮定)
     AD は共通
    ∠BAD=∠CAD (ADは∠Aの二等分線)
   2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
   △ABD ≡ △ACD
   対応する角は等しいから、∠B=∠C
.
(2) 辺 BC の中点を M とする
   △ABM と △ACM において、
     AB = AC (仮定)
     AM は共通
     BM = CM (MはBCの中点)
   3辺がそれぞれ等しいから、
   △ABM ≡ △ACM
   対応する角は等しいから、∠B=∠C
.
(3) 頂点A から対辺 BC におろした垂線を AH とする
   △ABH と △ACH において、
    ∠AHB=∠AHC=90゚ (AH⊥BC)
     AB = AC (仮定)
     AH は共通
   直角三角形で斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから、
   △ABH ≡ △ACH
   対応する角は等しいから、∠B=∠C

この証明ですが、ポイントはどの合同条件を使うかです。
正解は(1)だけが適切です。中学時代の教科書もこの証明だったと記憶しています。
(2)(3)は適切とは言えません。理由は循環論法であること、すなわち、
合同条件自体が、二等辺三角形の底角が等しいことを使って証明されるからです。



「3辺がそれぞれ等しい」という合同条件の説明
AB=DE, BC=EF, CA=FD のとき、△ABC≡△DEF を示すのに、
図のように、AとD, BとE を重ねると、△ACF, △BCF が二等辺三角形になって、
「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」ことによります。

「直角三角形で斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」という合同条件の説明
AB=DE, BC=EF, ∠A=∠D=90゚ のとき、△ABC≡△DEF を示すのに、
図のように、AとD, BとE を重ねると、△BCF が二等辺三角形になって、
∠C=∠F, 90゚-∠C=90゚-∠F, ∠ABC=∠DEF が言えて、
「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」ことによります。

どちらも二等辺三角形の底角が等しいことを利用しますので、
二等辺三角形の底角が等しいことの証明には使えません。
私なら補助線なんかを使わずに直接、次のようにします。

   △ABC と △ACB において、
     AB = AC (仮定)
     AC = AB (仮定)
    ∠BAC=∠CAB (共通)
   2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
   △ABC ≡ △ACB
   対応する角は等しいから、∠B=∠C

では、三角形の合同条件をまとめておきます。

[1] 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
 これは、等しい辺や角は移動して重ねられることによります。

[2] 2辺とその間の角がそれぞれ等しい。
 これも、等しい辺や角は移動して重ねられることによります。

[3] 3辺の長さがそれぞれ等しい。
 これは、上記の説明で分かります。

[4] 直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい。
 これは、直角三角形の鋭角の和が90゚ であるから残りの鋭角も等しくなって[1]によります。

[5] 直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい。
 これは、上記の説明で分かります。

この[1]~[5]が中学の教科書に出てくる必修?の合同条件です。

[4][5]は見方を変えれば、1組の向かい合う辺と角がそれぞれ等しく、その角が直角であれば、
他の1つの角または辺が等しいことがいえれば合同ということになります。

直角でなければどうなるでしょうか?

[4'] 1組の向かい合う辺と角がそれぞれ等しく、他に等しい角がある。
 これは、三角形の内角の和が180゚ であるから残りの角も等しくなって[1]によります。

[5'] 1組の向かい合う辺と角がそれぞれ等しく、他に(長さが)それ以下の等しい辺がある。
 鈍角や直角の場合は合同になりますが、鋭角の場合は合同といえる場合も言えない場合もあります。
 理由はやや面倒ですので省略します。

この2つも結果的に合同になります。参考程度に知っていればよいと思います。

また、三角形の内角の和が180゚ であることは平行線の公理が前提で、難しい問題を含んでいます。
平行線の公理というのは、 
 直線と直線外の1点が与えられたとき、
 与えられた点を通り、与えられた直線に平行な直線は1本あってその1本に限る
という、小学生や中学生にとってきわめて常識的なことですが、
幾何学の知識が増えると常識でなくなってしまいます。
そもそも、直線・点 などの無定義用語自体が難しいです。
.
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Comments 15

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ヤドカリ  
No title

きちんと指摘してくれたのは、uch*n*anさんだけでした~♫♬

スモークマン  
No title

なるほど...
合同条件の3辺が等しいときの証明自体に、二等辺三角形の底角が等しいという性質(証明する事自体)が使われてるんだ...
だから、この問題の場合、循環論法になるって意味だったんですね...何も考えず合同条件使ってました...^^;
わたしの円周角が等しいからってのも...その証明すべき二等辺三角形の性質そのものを使ってたわけだったのね...Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、納得頂いたようで嬉しいです....^^

uch*n*an  
No title

この問いは,なかなか興味深いと思います。
解説を読めば分かりますが,
合同条件の証明に二等辺三角形の性質を使わなければ,OKの可能性があります。
(3)に対する,相似,三平方の定理経由の証明は,これを試みた一つのアプローチでした。
ただ,論理的に正しいとしても不自然さは拭えず,ここで書かれている解説は妥当だと思います。
なお,中学数学では,
合同条件は定理というよりも証明なしに使ってよい事実なのかもしれません。
この立場では,(3)はともかく,(2)はOKとする考えもありえます。
私が最初コメントするのを躊躇したのは,前提を明確にしないと答えられない,と思ったからです。
いずれにせよ,ときには,当たり前のように使っていることを見直すことも大事ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、色々と多くの考察をして頂き、有難う御座います。
仰ることもごもっともですので、
「中学数学」でなく「数学入門」と考えて(2)もOKとしておきましょうか?

uch*n*an  
No title

>「中学数学」でなく「数学入門」と考えて(2)もOKとしておきましょうか?
いえ,そこまでする必要はないでしょう。
ただ,異なる意見もあることも知ってもらうために,
コメントも読むように推奨して頂けたら,と思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
このブログを訪問される方は是非コメントも読んでほしいですね。
ただ、画像を見に来て下さる方には、それなりに楽しんでいただければ良いと思っています。

atc*yk  
No title

数学の証明は公理から出発して
厳密にやらないと駄目ってことなんでしょうか…(勝手に解釈)

普段何気に使ってる公式とかは
あまり自分でチェックしないですからね

先人のお世話になりっぱなしです (^-^;)A

ヤドカリ  
No title

atc*ykさん、コメントを有難う御座います。
この記事は「公式や定理を鵜呑みにしていませんか?」という問題提起です。
「厳密にやらないと駄目」って一概には言えません。

ロイム  
No title

三辺相当を使わないで、角の二等分線を引けるのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

ロイムさん、「角の二等分線を引ける」とは書いていません。
「角の二等分線を定規とコンパスで作図する」と解釈されたのかも知れませんが、
∠A の二等分線があるはずだから、二等分線と BC の交点を D とするという意味です。

ところで、貴殿のコメントでは、
疑問を率直にぶつけられているのか、内容が不完全だと批判されているのか、
当方には、全く分かりません。
貴殿はいったいどのような方で、どのようにしてこのブログを知られたか
という疑問もあります。
ブログを開設していない貴殿について、当方には、全く情報がありません。
「ブログ紹介文」に「常連さん以外は、一言でも挨拶があってしかるべきだと思います。」
と記しています。

ロイム  
No title

すみません。質問の仕方が雑すぎて、不快にさせてしまいました。

私は、趣味で数学の問題をたまに解いている普通のおじさんです。
近くに住んでいる甥の宿題を一緒に考えることがあり、その際
三角形の合同条件がなぜ成り立つの?と質問されたんです。

そういえば私自身、中学時代丸暗記させらんたなぁと思い、厳密な証明をネットで探していたら、ユークリッド原論に書いてあるという情報を得て
該当部分を読んでみました。

背理法を使って証明してあることが多いことに気がついて、
そういえば、中学のときには背理法を習ってなかったけど
当時証明をしていた覚えがある。あれはどうやっていたのだったっけと思い
中学生向けのサイトを見ると、原論と比べると循環論法的な説明が多かったので


気になって、中学 証明 循環論法と調べてこのサイトにいきつきました。

長くなったのでいったん切ります

ロイム  
No title

原論では作図によって存在証明をしているように私は感じていて、
角の二等分線を三辺相等の合同条件を使わないで引く方法を思いつかなかったので、

角の二等分線を具体的に引くことができなければ、次の論証には使えないでは?と思い質問させていただきました。

たしかに作図できなくても存在さえ確かめられれば良いでしょうし
角度が連続していることと、全体は部分を含むのでその中に1/2という大きさの角は含まれているはずなので、存在することも認められるでしょう。

その点は納得できました。

これは純粋な疑問なのですが、角の二等分線と底辺が交点を持つことはどうやって担保すればいいのでしょうか?

原論でも触れらていませんし、図を書けば明らかなんですけど
厳密でない気がして

ヤドカリ  
No title

ロイムさん、長文のコメントをありがとうございます。
貴殿がどのような方で、どのようにしてこのブログにたどり着かれたか、
少し分かりました。

三辺相等の合同条件を使わなければ、等しい角の作図すらできませんので、
角の二等分線を引く方法が思いつかないのは当然だと思います。
二等辺三角形の底角が等しいことから、
三辺相等の合同条件を証明するという回り道は必要だと思います。

頂角の二等分線が底辺と交わることは、認めるしかないと思います。
ユークリッド幾何では、2直線は平行でない限り交わりますが、
その一部のどこで交わるかは図をイメージしなければなりませんし、
そもそも直線とはどういうものかということを定める必要があります。
「厳密」と言われても難しいですね。

スモークマン  
No title

>ロイムさんへ ^^
横から失礼します。
貴殿の疑問は考えたこともなかったので考えてみました ^^v
頂角がx°なら...底辺上の点を端から端まで移動させれば...0°~x°まで連続に増加するので、途中で必ずx/2°になる点が存在しますよね?
一種の平均値の定理かな...Orz~