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[答982] 折り紙

ヤドカリ

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[答982] 折り紙


 図のように、1辺が 100以下の正方形の折り紙 ABCD があって、辺AB上の端点以外に点Pをとり、

 D,Pが一致するように折り目 EF をつけると 正方形ABCDは 台形ABFE,台形EFCD に分かれます。

 この 台形ABFE,台形EFCD の面積がともに自然数で、その差が 196 のとき、

 長さの組(AP,PB)として考えられるのは何通り?

 また、その中で 折り目 EF の長さが最長のものについて、(AP,PB)=?


[解答1]

 折った状態でのBFとCDの交点をGとすれば、

 BC+DA=AB+CD だから、BG+GF+FC+DE+EA=AP+PB+CG+GD 、

 BG+GF+FC+PE+EA=AP+PB+CG+GP 、GF+FC-CG=(GP+PB-BG)-(PE+EA-AP) 、

 △CGF∽△BGP∽△APE ですので、GF=GP-PE ,FC=PB-EA ,CG=BG-AP です。

 次に、△APE+△BGP-△CGF=196 なので、EA・AP/2+PB・BG/2-FC・CG/2=196 、

 EA・AP/2+PB・BG/2-(PB-EA)(BG-AP)/2=196 、PB・AP/2+EA・BG/2=196 、

 △BGP∽△APE より BG:AP=PB:EA 、EA・BG=AP・PB だから、AP・PB=196 です。

 ここで、台形ABFE,台形EFCDの面積がともに自然数で、その差が偶数だから、和も偶数、

 正方形ABCDの面積を S とすれば、S≦1002 で Sは偶数です。

 AP+PB=√S , AP・PB=196 だから、 AP,PB を解とする x の2次方程式は、

 x2-(√S)x+196=0 になり、その解は x={√S±√(S-784)}/2 です。

 784≦S≦10000 で S は偶数、S=784 のとき AP=(√S)/2 ,S>784 のとき AP={√S±√(S-784)}/2 、

 すなわち、S=784 のとき (AP,PB)は1通り ,S>784 のとき (AP,PB)は2通りずつありますので、

 全部で 9217 通りです。

 次に、

 EF2=DP2=AD2+AP2=S+AP2 が最大の場合は、

 APは長い方の {√S+√(S-784)}/2 をとればよく、これは S について単調増加だから、

 S=10000 の場合で、

 x={√10000±√(10000-784)}/2=(100±96)/2=98,2 となり、(AP,PB)=(98,2) です。


[解答2]

 ADの中点をM,BCの中点をN,PからDCにおろした垂線の足をQ,

 PQとMNの交点をO,PQとEFの交点をO とします。

 また、分かりやすくするため、台形ABFEを黄色,台形EFCDを桃色に塗ります。

 EFは線分DPの垂直二等分線になるので、

 長方形APQD内では黄色と桃色の面積が等しく、

 長方形PBCQ内では黄色は半分より台形ONFRだけ大きく、桃色は半分より台形ONFRだけ小さいので、

 黄色は桃色より台形ONFRの2倍の面積大きいことになります。

 台形ONFR=(OR+NF)・ON/2=(EM+NF)・PB/2=AP・PB/2 、黄色と桃色の面積の差は AP・PB=196 です。

 ここで、黄色,桃色の面積がともに自然数で、その差が偶数だから、和も偶数、

 正方形ABCDの面積を S とすれば、S≦1002 で Sは偶数です。

 AP+PB=√S , AP・PB=196 だから、 AP,PB を解とする x の2次方程式は、

 x2-(√S)x+196=0 になり、その解は x={√S±√(S-784)}/2 です。

 784≦S≦10000 で S は偶数、S=784 のとき AP=(√S)/2 ,S>784 のとき AP={√S±√(S-784)}/2 、

 すなわち、S=784 のとき (AP,PB)は1通り ,S>784 のとき (AP,PB)は2通りずつありますので、

 全部で 9217 通りです。

 次に、

 EF2=DP2=AD2+AP2=S+AP2 が最大の場合は、

 APは長い方の {√S+√(S-784)}/2 をとればよく、これは S について単調増加だから、

 S=10000 の場合で、

 x={√10000±√(10000-784)}/2=(100±96)/2=98,2 となり、(AP,PB)=(98,2) です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

ハクモクレンとコブシ似ていて……
満開の白、雪が降ったようです!

アキチャン  
No title

おはようございます。
ハクモクレン群生しているのですね。。圧巻ですね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

おはようございます
寒い朝ですハクモクレンもこんな時が一番いいね。
まだ見れませんやっとサンシュユが黄色です。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
これはぜんぜん気付けませんでした ^^;;
>黄色と桃色の面積の差は AP・PB=196
が肝でしたのねぇ☆
面白い問題でしたのに…Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
白木蓮 奇麗ですね
夜になると白く浮き上がるように咲いているのが良いですネ

ナイス☆彡

こっこちゃん  
No title

真っ白な花モクレン 清楚で

素敵な眺めですね ナイス!(^^)!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハクモクレンとコブシは似ていますね。
どちらもモクレン科で、遠目には分かりません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハクモクレンはよく見られる花ですが、
大仙公園に見事に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハクモクレンはいい状態のときに写真を撮れれば嬉しいです。
サンシュユの黄色も綺麗ですが、当方では色褪せてきました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
うまく考えないと何通りかが難しいですね。
面積の差をどのように式にするかも肝要です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
家の近くに咲いていませんので、夜までは見られません。
機会があれば、夜にも見たいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
真っ白なモクレンですが、見頃を逃すといけませんね。
ちょうどいい時期に見ることが出来ました。