[答982] 折り紙

[答982] 折り紙


　図のように、１辺が 100以下の正方形の折り紙 ABCD があって、辺AB上の端点以外に点Pをとり、

　D，Pが一致するように折り目 EF をつけると 正方形ABCDは 台形ABFE，台形EFCD に分かれます。

　この 台形ABFE，台形EFCD の面積がともに自然数で、その差が 196 のとき、

　長さの組(AP，PB)として考えられるのは何通り？

　また、その中で 折り目 EF の長さが最長のものについて、(AP，PB)＝？


[解答1]

　折った状態でのBFとCDの交点をGとすれば、

　BC＋DA＝AB＋CD だから、BG＋GF＋FC＋DE＋EA＝AP＋PB＋CG＋GD 、

　BG＋GF＋FC＋PE＋EA＝AP＋PB＋CG＋GP 、GF＋FC－CG＝(GP＋PB－BG)－(PE＋EA－AP) 、

　△CGF∽△BGP∽△APE ですので、GF＝GP－PE ，FC＝PB－EA ，CG＝BG－AP です。

　次に、△APE＋△BGP－△CGF＝196 なので、EA･AP/2＋PB･BG/2－FC･CG/2＝196 、

　EA･AP/2＋PB･BG/2－(PB－EA)(BG－AP)/2＝196 、PB･AP/2＋EA･BG/2＝196 、

　△BGP∽△APE より BG：AP＝PB：EA 、EA･BG＝AP･PB だから、AP･PB＝196 です。

　ここで、台形ABFE，台形EFCDの面積がともに自然数で、その差が偶数だから、和も偶数、

　正方形ABCDの面積を S とすれば、S≦100² で Sは偶数です。

　AP＋PB＝√S ， AP･PB＝196 だから、 AP，PB を解とする x の２次方程式は、

　x²－(√S)x＋196＝0 になり、その解は x＝｛√S±√(S－784)｝/2 です。

　784≦S≦10000 で S は偶数、S＝784 のとき AP＝(√S)/2 ，S＞784 のとき AP＝｛√S±√(S－784)｝/2 、

　すなわち、S＝784 のとき (AP，PB)は１通り ，S＞784 のとき (AP，PB)は２通りずつありますので、

　全部で 9217 通りです。

　次に、

　EF²＝DP²＝AD²＋AP²＝S＋AP² が最大の場合は、

　APは長い方の ｛√S＋√(S－784)｝/2 をとればよく、これは S について単調増加だから、

　S＝10000 の場合で、

　x＝｛√10000±√(10000－784)｝/2＝(100±96)/2＝98，2 となり、(AP，PB)＝(98，2) です。


[解答2]

　ADの中点をM，BCの中点をN，PからDCにおろした垂線の足をQ，

　PQとMNの交点をO，PQとEFの交点をO とします。

　また、分かりやすくするため、台形ABFEを黄色，台形EFCDを桃色に塗ります。

　EFは線分DPの垂直二等分線になるので、

　長方形APQD内では黄色と桃色の面積が等しく、

　長方形PBCQ内では黄色は半分より台形ONFRだけ大きく、桃色は半分より台形ONFRだけ小さいので、

　黄色は桃色より台形ONFRの２倍の面積大きいことになります。

　台形ONFR＝(OR＋NF)･ON/2＝(EM＋NF)･PB/2＝AP･PB/2 、黄色と桃色の面積の差は AP･PB＝196 です。

　ここで、黄色，桃色の面積がともに自然数で、その差が偶数だから、和も偶数、

　正方形ABCDの面積を S とすれば、S≦100² で Sは偶数です。

　AP＋PB＝√S ， AP･PB＝196 だから、 AP，PB を解とする x の２次方程式は、

　x²－(√S)x＋196＝0 になり、その解は x＝｛√S±√(S－784)｝/2 です。

　784≦S≦10000 で S は偶数、S＝784 のとき AP＝(√S)/2 ，S＞784 のとき AP＝｛√S±√(S－784)｝/2 、

　すなわち、S＝784 のとき (AP，PB)は１通り ，S＞784 のとき (AP，PB)は２通りずつありますので、

　全部で 9217 通りです。

　次に、

　EF²＝DP²＝AD²＋AP²＝S＋AP² が最大の場合は、

　APは長い方の ｛√S＋√(S－784)｝/2 をとればよく、これは S について単調増加だから、

　S＝10000 の場合で、

　x＝｛√10000±√(10000－784)｝/2＝(100±96)/2＝98，2 となり、(AP，PB)＝(98，2) です。

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