FC2ブログ

Welcome to my blog

[答983] 解の存在範囲

ヤドカリ

ヤドカリ



[答983] 解の存在範囲


 t の 2次方程式 7t2+(x-y)t+(x+y-7)=0 が

 -1<t<1 の範囲に異なる2つの実数解をもつような実数の組(x,y)を、

 xy平面上に領域として表すとき、その領域の面積は?


[解答1]

 f(t)=7t2+(x-y)t+(x+y-7) とおくと、

 f(t)=7{t+(x-y)/14}2-(x-y)2/28+(x+y-7) です。

 f(t)のグラフが -1<t<1 の範囲で t軸と2点を共有すればよいので、

 f(-1)>0 ,f(1)>0 ,-1<-(x-y)/14<1 ,-(x-y)2/28+(x+y-7)<0 を満たせばよい。

 f(-1)>0 より、7-(x-y)+(x+y-7)>0 、2y>0 、y>0 ……(1)

 f(1)>0 より、7+(x-y)+(x+y-7)>0 、2x>0 、x>0 ……(2)

 -1<-(x-y)/14<1 より、-14<y-x<14 、x-14<y<x+14 ……(3)

 -(x-y)2/28+(x+y-7)<0 より、(x-y)2-28(x+y-7)>0 、

 (x-y)2+28(x-y)+196>28(x+y-7)+28(x-y)+196 、(x-y+14)2>56x 、

 (2)(3)より 56x>0 かつ x-y+14>0 だから、x-y+14>2√(14x) 、y<x+14-2√(14x) ……(4)

 (3)(4)より x-14<x+14-2√(14x) だから、2√(14x)<28 、√(14x)<14 、14x<196 、x<14 です。

 まとめると領域は、 0<x<14 ,0<y<x+14-2√(14x) です。

 従って、その面積は、

 ∫014 {x+14-2√(14x)}dx=[(1/2)x2+14x-(4/3)x√(14x)]014

  =(1/2)・196+196-(4/3)・196=(1/6)・196=98/3 です。


[解答2]

 点(x,y)を 原点の周りに 45゚ 回転し、原点を中心に 1/(7√2) 倍した点を(X,Y)とすれば、

 x=7X+7Y,y=-7X+7Y なので、2次方程式 7t2+(x-y)t+(x+y-7)=0 は、

 7t2+14Xt+(14Y-7)=0 、t2+2Xt+(2Y-1)=0 になります。

 これが異なる2つの実数解をもつ条件は、

 X2-(2Y-1)>0 、Y<X2/2+1/2 ……(1)

 実数解をα,βとすれば、α+β=-2X ,αβ=2Y-1 だから、

 -2<α+β<2 より -2<-2X<2 、-1<X<1 ……(2)

 (α+1)(β+1)>0 より αβ+α+β+1>0 、2Y-1-2X+1>0 、Y>X ……(3)

 (α-1)(β-1)>0 より αβ-α-β+1>0 、2Y-1+2X+1>0 、Y>-X ……(4)

 Y=|X| と Y=X2/2+1/2 は (±1,1)で接するので、

 Y=|X| と Y=X2/2+1/2 の間の面積を求めれば、(1/2)(1+1)3/12=1/3 、

 1/(7√2) 倍していますので、これは求める面積の 1/98 、求める面積は 98/3 です。

.

スポンサーサイト



Comments 8

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

こんにちは~寒い日ですよ。
ヒューがミズキですか、トサミズキですか
レモン色の花この辺でも見えていますよ。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
トサミズキでしょうか
トサミズキ・ヒュウガミズキ良く似ているので区別しにくいですネ
現物を見ても分かりにくいのは私だけかな(?_?)

ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

ヒュウガミズキの花は3個の集合体、
トサミズキの花は8個以上の集合体とあるので
トサミズキのようですね~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
写真の花はトサミズキです。
明日はヒュウガミズキの写真をアップしますので、
比べてみて下さい。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
確かに、トサミズキとヒュウガミズキの区別は難しいですね。
派手な方がトサミズキ、黄色っぽいのがヒュウガミズキと
思っています。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒュウガミズキとトサミズキにはそんな区別があるのですね。
トサミズキの方が派手だと思っている私の感じ方は
正しかったのかも知れません。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
条件は出せたのですが…
そこから上手くいきませんでした…^^;
x=7√2のとき、y=0になる放物線を求めてましたが…1/(7√2) ばいで考えれば楽だったと、ウン知った鳩の巣でしたぁ…^^;v
熟読玩味ぃ~…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
知識があれば単純に解ける問題だったと思いますが、
慣れていないとなかなか苦労しますね。