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[答96] 四角形の面積の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答96] 四角形の面積の最大値


 4辺の長さが短いものから 5, 9, 13, 15 である四角形の面積の最大値は?



[解答]

 面積が最大だから、凸四角形のみを対象にすれば十分です。

 長さが 5,15 の辺が対辺になる場合と隣辺になる場合がありますが、

 長さが 5,15 の辺が対辺になる場合でも、

 5,9 を2辺とする三角形と 15,13 を2辺とする三角形とに分け、

 15,13 を2辺とする三角形を固定し、5,9 の2辺を逆にしても、面積は変わりません。

 つまり、長さが 5,15 の辺が隣辺である、等しい面積の四角形が存在します。

 従って、面積に関しては、長さが 5,15 の辺が隣辺になる場合だけを考えればよいことになります。

 5,15 を2辺とする三角形の面積が最大になるのは間の角が90゚の場合で、面積は 5・15/2=75/2 。

 9,13 を2辺とする三角形の面積が最大になるのも間の角が90゚の場合で、面積は 9・13/2=117/2 。

 また、52+152=92+132 だから、

 2辺 5,15 の間の角も 9,13 の間の角も90゚になる四角形が存在します。

 従ってその最大面積は、75/2+117/2=96 になります。


[参考]

 どの辺が隣り(向かい)合うかが分からないので、4辺をa,b,c,dとし、

 隣り合うa,bの間の角をα, c,dの間の角をβとします。

 余弦定理より、a2+b2-2ab・cosα=c2+d2-2cd・cosβ、

 -2ab・cosα+2cd・cosβ=-a2-b2+c2+d2

 4a2b2cos2α-8abcd・cosαcosβ+4c2d2cos2β=(-a2-b2+c2+d2)2 ……(1) 。

 また、面積をSとすると、S=(1/2)ab・sinα+(1/2)cd・sinβ、2ab・sinα+2cd・sinβ=4S、

 4a2b2sin2α+8abcd・sinαsinβ+4c2d2sin2β=16S2 ……(2) 。

 (1)+(2) を計算して、

 4a2b2-8abcd(cosαcosβ-sinαsinβ)+4c2d2=(-a2-b2+c2+d2)2+16S2

 4a2b2-8abcd・cos(α+β)+4c2d2=(-a2-b2+c2+d2)2+16S2

 16S2=4a2b2-8abcd・cos(α+β)+4c2d2-(-a2-b2+c2+d2)2

 よって、cos(α+β)=-1 のとき、すなわち、α+β=180゚ のときにSは最大になります。

 (これは、円に内接するときに面積が最大になることを表します)

 このとき、

 16S2=4a2b2+8abcd+4c2d2-(-a2-b2+c2+d2)2

    =(2ab+2cd)2-(-a2-b2+c2+d2)2

    =(2ab+2cd-a2-b2+c2+d2)(2ab+2cd+a2+b2-c2-d2)

    ={(c+d)2-(a-b)2}{(a+b)2-(c-d)2}

    =(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)

 ここで、a+b+c+d=2s とおくと、16S2=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d) だから、

 S2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)、S=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} となります。

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Comments 7

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ヤドカリ  
No title

再出発さん、鍵コメを有難う御座います。
タイプミスの指摘を有難う御座いました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
梅・・きれいですね・・・うれしくなりますネ♪ (o^-^o)

uch*n*an  
No title

私は,最初,[参考]の方向で考えていたのですが,面倒だなぁ,と思い,
5^2 + 15^2 = 9^2 + 13^2 に気付いて,[解答]の方向になりました。
ただ,トレミーの定理の拡張がひらめいたので,
>15,13 を2辺とする三角形を固定し、5,9 の2辺を逆にしても、面積は変わりません。
には,思い至りませんでした。この方が簡単ですね。

いっちゃん  
No title

青い空に梅の花がきれいですね^^
木々の間からこぼれるような日の光は
春を感じます。。こちらはいいお天気ですよ。。ポチ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
ブログ用に大仙公園に写真を撮りに行ったら、思いのほか多くの梅が咲いていました。
ブログのおかげです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は、トレミーの定理の拡張には思い至りませんでした。
なんとなく、円に内接する四角形が最大面積になるような気がして、
[参考]のように確かめ、数値を考えて問題にした次第です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
例の小さな古墳の近くに咲いていました。