[答96] 四角形の面積の最大値

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[答96] 四角形の面積の最大値


　４辺の長さが短いものから 5, 9, 13, 15 である四角形の面積の最大値は？



[解答]

　面積が最大だから、凸四角形のみを対象にすれば十分です。

　長さが 5，15 の辺が対辺になる場合と隣辺になる場合がありますが、

　長さが 5，15 の辺が対辺になる場合でも、

　5，9 を２辺とする三角形と 15，13 を２辺とする三角形とに分け、

　15，13 を２辺とする三角形を固定し、5，9 の２辺を逆にしても、面積は変わりません。

　つまり、長さが 5，15 の辺が隣辺である、等しい面積の四角形が存在します。

　従って、面積に関しては、長さが 5，15 の辺が隣辺になる場合だけを考えればよいことになります。

　5，15 を２辺とする三角形の面積が最大になるのは間の角が90ﾟの場合で、面積は 5･15/2＝75/2 。

　9，13 を２辺とする三角形の面積が最大になるのも間の角が90ﾟの場合で、面積は 9･13/2＝117/2 。

　また、5²＋15²＝9²＋13² だから、

　２辺 5，15 の間の角も 9，13 の間の角も90ﾟになる四角形が存在します。

　従ってその最大面積は、75/2＋117/2＝96 になります。


[参考]

　どの辺が隣り(向かい)合うかが分からないので、４辺をａ,ｂ,ｃ,ｄとし、

　隣り合うａ,ｂの間の角をα, ｃ,ｄの間の角をβとします。

　余弦定理より、a²＋b²－2ab･cosα＝c²＋d²－2cd･cosβ、

　－2ab･cosα＋2cd･cosβ＝－a²－b²＋c²＋d²、

　4a²b²cos²α－8abcd･cosαcosβ＋4c²d²cos²β＝(－a²－b²＋c²＋d²)² ……(1) 。

　また、面積をSとすると、S＝(1/2)ab･sinα＋(1/2)cd･sinβ、2ab･sinα＋2cd･sinβ＝4S、

　4a²b²sin²α＋8abcd･sinαsinβ＋4c²d²sin²β＝16S² ……(2) 。

　(1)＋(2) を計算して、

　4a²b²－8abcd(cosαcosβ－sinαsinβ)＋4c²d²＝(－a²－b²＋c²＋d²)²＋16S²、

　4a²b²－8abcd･cos(α＋β)＋4c²d²＝(－a²－b²＋c²＋d²)²＋16S²、

　16S²＝4a²b²－8abcd･cos(α＋β)＋4c²d²－(－a²－b²＋c²＋d²)²

　よって、cos(α＋β)＝－1 のとき、すなわち、α＋β＝180ﾟ のときにSは最大になります。

　(これは、円に内接するときに面積が最大になることを表します)

　このとき、

　16S²＝4a²b²＋8abcd＋4c²d²－(－a²－b²＋c²＋d²)²

　 　 ＝(2ab＋2cd)²－(－a²－b²＋c²＋d²)²

　 　 ＝(2ab＋2cd－a²－b²＋c²＋d²)(2ab＋2cd＋a²＋b²－c²－d²)

　 　 ＝{(c＋d)²－(a－b)²}{(a＋b)²－(c－d)²}

　 　 ＝(c＋d－a＋b)(c＋d＋a－b)(a＋b－c＋d)(a＋b＋c－d)

　ここで、a＋b＋c＋d＝2s とおくと、16S²＝(2s－2a)(2s－2b)(2s－2c)(2s－2d) だから、

　S²＝(s－a)(s－b)(s－c)(s－d)、S＝√{(s－a)(s－b)(s－c)(s－d)} となります。

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