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[答989] 円に内接する二等辺三角形

ヤドカリ

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[答989] 円に内接する二等辺三角形


 円に内接する △ABCと 辺BC上に点P があって、AB=AC=33,AP=10,∠APC=75゚ です。

 APの延長と円の交点をQ とするとき、PQ の長さは?


[解答1]

 BP=b,PC=c とすれば、余弦定理により、

 AB2=BP2+AP2-2AP・BPcos105゚ 、1089=b2+(20cos75゚)b+100 、

 b2+(20cos75゚)b-989=0 、b=-10cos75゚+√(100cos275゚+989) 、

 AC2=PC2+AP2-2AP・PCcos75゚ 、1089=c2-(20cos75゚)c+100 、

 c2-(20cos75゚)c-989=0 、c=-10cos75゚+√(100cos275゚+989) です。

 方べきの定理により、AP・PQ=BP・PC だから、

 10PQ=bc={√(100cos275゚+989)-10cos75゚}{√(100cos275゚+989)+10cos75゚}=

  =100cos275゚+989-100cos275゚=989 、

 PQ=989/10=98.9 です。


[解答2]

 BP=b,PC=c,∠ABP=∠ACP=θ とすれば、余弦定理により、

 AP2=AB2+BP2-2AB・BPcosθ 、100=1089+b2-(66cosθ)b 、

 b2-(66cosθ)b+989=0 、同様に、c2-(66cosθ)c+989=0 になります。

 よって、x2-(66cosθ)x+989=0 の解が x=b,c で、解と係数の関係により、bc=989 、

 方べきの定理により、AP・PQ=BP・PC だから、10PQ=bc=989 、PQ=989/10=98.9 です。


[解答3] 再出発さんの解答より

 スチュワートの定理により、AC2・PB+AB2・PC=BC(AP2+PB・PC) 、

 332・PB+332・PC=BC(102+PB・PC) 、

 1089BC=(100+PB・PC)BC 、PB・PC=989 です。

 方べきの定理より PA・PQ=PB・PC 、10PQ=989 、PQ=989/10=98.9 です。


[解答4]

 劣弧AC=劣弧AB だから、∠ABC=∠BQP 、右上図のように △BPC の外接円を描けば、

 接弦定理の逆により ABはその接線になります。

 方べきの定理により AP・AQ=AB2 、AQ=AB2/AP 、

 PQ=AQ-AP=AB2/AP-AP=332/10-10=98.9 です。


[解答5]

 右下図のように、△ABP と △BPC を組み合わせると等脚台形ができ、

 トレミーの定理により、BP・PC+AP・AP=AB・AB になります。

 方べきの定理により、AP・PQ=BP・PC=AB2-AP2 だから、

 PQ=AB2/AP-AP=332/10-10=98.9 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ハナズオウ密な花付きで~
我が家のは蕾の先が赤く見えています。

ニリンソウ  
No title

大きいので「なにこれ?」ハナズオウも不思議な花ですね
木に乗っかるように花が付く!
米粒のようで「あかまんま」とも言います。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
色んな解法がありんすねぇ☆
わたしゃ計算うんとこさの遠回り…^^;
[解答4&5]は惚れ惚れしますわ♪
図形は面白い理由だけど…閃けるかどうかにかかってますね ^^;…Orz

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ハナズオウの花が奇麗ですね
此方では葉っぱも出だしているようです

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花が密集してついてきたので撮りました。
其方はこれからのようですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
赤いタデを「あかまんま」というのは知っていますが、
ハナズオウも「あかまんま」というのは知りませんでした。
明日は白いご飯をお目にかけます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
図形の問題はハマると図形の性質で解くのが早いですね。
閃きか意地かは分かりませんが……。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
そちらは季節が進んでいるから納得です。
枝に付く花が密集していて面白いですね。

樹☆  
No title

おはようございます
この色は一番ポピュラーな感じの色だと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ハナズオウといえばこの色ですね。
枝にビッシリと花が付くのが面白いです。