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[答991] 和の絶対値が1以下

ヤドカリ

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[答991] 和の絶対値が1以下


 n を与えられた自然数とします。

 |x|≦n,|y|≦n,|z|≦n,|x+y+z|≦1 をすべて満たす整数の組(x,y,z)は何組?


[解答1]

 |x|,|y|,|z| の最大値が 0 のものは x=y=z=0 だけです。

 |x|,|y|,|z| の最大値が 1 のものは

 -1,-1,1 または -1,0,0 または -1,0,1 または -1,1,1 または 0,0,1 か

 その並べかえの 18個です。

 k を2以上の自然数とします。

 x=-k,|y|<k,|z|<k を満たす(y,z)は

 x+y+z=-1 になるのは (0,k-1),(1,k-2),……,(k-2,1),(k-1,0) の k個、

 x+y+z=0 になるのは (1,k-1),(2,k-2),……,(k-2,2),(k-1,1) の (k-1)個、

 x+y+z=1 になるのは (2,k-1),(3,k-2),……,(k-2,3),(k-1,2) の (k-2)個、

 の (3k-3)個、x=k,|y|<k,|z|<k の場合も符号を変えて (3k-3)個、

 従って、|x|=k,|y|<k,|z|<k の場合は (6k-6)個、

 |x|<k,|y|=k,|z|<k の場合,|x|<k,|y|<k,|z|=k の場合も (6k-6)個、

 |x|,|y|,|z| の1つが k で 他が k 未満の場合は (18k-18)個です。

 |x|,|y|,|z| の2つが k で 他が k 未満の場合は

 -k,-1,k または -k,0,k または -k,1,k か その並べかえの 18個、

 |x|=|y|=|z|=k の場合はありません。

 従って、|x|,|y|,|z| の最大値が k のものは k=1 の場合を含めて 18k 個あります。

 求める場合の数は、

 1+(18+36+54+……+18n)=1+18n(n+1)/2=9n2+9n+1 です。


[解答2] Nemoさんのコメントより

 一般に 0以上の整数 A,B,C が A+B+C=K を満たす (A,B,C) の個数は

 K2=(K+1)(K+2)/2 です。

 |x|≦n,|y|≦n,|z|≦n より -n≦x≦n,-n≦y≦n,-n≦z≦n 、

 0≦x+n≦2n,0≦y+n≦2n,0≦z+n≦2n です。 

 ここで、|x+y+z|≦1 より、x+y+z=-1,0,1 、

 (x+n)+(y+n)+(z+n)=3n-1,3n,3n+1 、

 0≦x+n,0≦y+n,0≦z+n の条件での (x+n,y+n,z+n) の個数は

 3n(3n+1)/2+(3n+1)(3n+2)/2+(3n+2)(3n+3)/2=(27n2+27n+8)/2 です。

 このうち、x+n>2n の場合、(x-n-1)+(y+n)+(z+n)=n-2,n-1,n 、

 (x-n-1,y+n,z+n) の個数は

 (n-1)n/2+n(n+1)/2+(n+1)(n+2)/2=(3n2+3n+2)/2 で、

 y+n>2n,z+n>2n の場合も同数あり、

 x+n>2n,y+n>2n,z+n>2n のうち2つ以上が同時に成り立つことはありません。

 よって、求める個数は、(27n2+27n+8)/2-3(3n2+3n+2)/2=9n2+9n+1 です。


[解答3] zを消去して格子点の個数を求めると

 |x+y+z|≦1 より、x+y+z=-1,0,1 、-z=x+y+1,x+y,x+y-1 、

 |z|≦n より -n≦-z≦n です。

 -z=x+y+1 のとき、-n≦x+y+1≦n 、-n-1≦x+y≦n-1 、

 -z=x+y のとき、-n≦x+y≦n 、

 -z=x+y-1 のとき、-n≦x+y-1≦n 、-n+1≦x+y≦n+1 、

 |x|≦n,|y|≦n の範囲でこの3通りの格子点の数の和は、

 3(2n+1)2-2・(n-1)n/2-2・n(n+1)/2-2・(n+1)(n+2)/2=9n2+9n+1 個です。 


[解答4] 直接空間の格子点の個数を求めると

 まず、図のような 外側の辺のの個数を a,b,a,b,a,b である六角形状に並んだの個数は、

 {1+2+3+……+(a+2b-2)}-3{1+2+3+……+(b-1)}

  =(a+2b-2)(a+2b-2)/2-3(b-1)b/2=(a2+4ab+b2-3a-3b+2)/2 です。

 空間座標で 立方体 -n≦x≦n,-n≦y≦n,-n≦z≦n の中の格子点で、

 平面 x+y+z=0,x+y+z=1,x+y+z=-1 上にあるものの個数を求めます。

 立方体と x+y+z=0 の共通部分は

 6点(0,n,-n),(n,0,-n),(n,-n,0),(0,-n,n),(-n,0,n),(-n,n,0)を

 頂点とする六角形で、1辺に並ぶ格子点の数は n+1,n+1,n+1,n+1,n+1,n+1 、

 六角形の格子点の数は

 {(n+1)2+4(n+1)(n+1)+(n+1)2-3(n+1)-3(n+1)+2}/2=3n2+3n+1 、

 立方体と x+y+z=1 の共通部分は

 6点(1,n,-n),(n,1,-n),(n,-n,1),(1,-n,n),(-n,1,n),(-n,n,1)を

 頂点とする六角形で、1辺に並ぶ格子点の数は n,n+2,n,n+2,n,n+2 、

 六角形の格子点の数は {n2+4n(n+2)+(n+2)2-3n-3(n+2)+2}/2=3n2+3n 、

 立方体と x+y+z=-1 の共通部分の六角形の格子点の数も 3n2+3n です。

 従って求める格子点の個数は、(3n2+3n+1)+2(3n2+3n)=9n2+9n+1 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

はなびらの白が初々しく見えます!

樹☆  
No title

おはようございます。
ピラカンサの仲間かなと思ったけど
違うようですね。白くて可愛くて、わたし好みの
お花です。

ニリンソウ  
No title

リンゴかな?
リンゴなら薄くピンクが入りますネ。
梨とは違うけど実の成る木のようですね。

ナイス

アキチャン  
No title

くだもののお花はほんとうに観賞用になりますね(o^-^o)
梨にそっくりですね♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い5弁花です。沢山咲いていました。
真っ白な花は清々しいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
樹ちゃん好みの花ですか、多分そうだと思いました。
ヒメリンゴの花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ヒメリンゴの花です。
ピンクの花もありましたが、白が綺麗でした。
こうして見ると綺麗な花ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒメリンゴの花です。果物の花も観賞用に十分値します。
梨の花は明日にでもアップします。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
りんごの花菜のですネ
丸みをおびた真っ白の花弁が可愛いですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒメリンゴの花、沢山咲いていて綺麗です。
花弁のシンプルな形が私は好きです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
難しかったです…^^;
[解答3]の考え方がわかいりやすいけど☆…
わたしゃ式(Pickの定理で考えたりしてましたが...図で数えられるのでしたのね^^)がおかしかった上に、すべてを尽くしてませんでしたわ ^^;; 熟読玩味ぃ~Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答3]わかいりやすいと思います。
重複なくすべてを尽くすのは場合の数では重要ですね。