FC2ブログ

Welcome to my blog

[答993] 楕円と双曲線

ヤドカリ

ヤドカリ



[答993] 楕円と双曲線


 中心が原点で焦点がx軸上にある 楕円 x2/a2+y2/b2=1 ,双曲線 x2/c2-y2/d2=1 があって、

 焦点を共有しています。

 この楕円と双曲線の4つの交点のうち、第1象限にあるものをPとすれば、Pと原点の距離は 18 で、

 Pでの楕円の接線はx軸と(90,0)で交わり、Pでの双曲線の接線はx軸と(6,0)で交わります。

 このとき、Pの座標は? また、楕円,双曲線の方程式は?


[解答]

 焦点を F,F' とします。

 楕円の場合、接線上の点を P とすれば、PF'+PF が最小になるのは P が接点の場合で、

 F の接線に関して対称な点を F" とすれば、PF'+PF=PF'+PF" なので、

 P は直線 F'F" 上にあることになり、接線は ∠F'PF の外角の二等分線です。

 双曲線の場合、接線上の点を P とすれば、|PF'-PF| が最大になるのは P が接点の場合で、

 F の接線に関して対称な点を F" とすれば、PF'-PF=PF'-PF" なので、

 P は直線 F'F" 上にあることになり、接線は ∠F'PF の内角の二等分線です。

 従って、Pでの楕円の接線と双曲線の接線は直交します。

 Pは (90,0),(6,0) を直径の両端とする円 (x-48)2+y2=422 上にあり、

 Pは中心が原点で半径が 18 の円周 x2+y2=182 上にあるので、

 この交点を求め、P(9,9√3) になります。

 Pが楕円上にあるので、81/a2+243/b2=1 で、

 Pでの接線 9x/a2+(9√3)y/b2=1 が(90,0)を通るので、810/a2=1 、

 これを解いて、a2=810 ,b2=270 です。

 Pが双曲線上にあるので、81/c2-243/d2=1 で、

 Pでの接線 9x/c2-(9√3)y/d2=1 が(6,0)を通るので、54/a2=1 、

 これを解いて、c2=54 ,d2=486 です。

 よって、楕円 x2/810+y2/270=1 ,双曲線 x2/54-y2/486=1 です。


[参考]

 O(0,0),P(p,q) として、

 Pでの楕円の接線と双曲線の接線は直交することを式で確かめます。

 Oと焦点の距離の2乗は a2-b2=c2+d2 だから

 a2-c2=b2+d2 になり、この値を k とします。

 また、p2/a2+q2/b2=1 ,p2/c2-q2/d2=1 です。

 楕円の接線は px/a2+qy/b2=1 ,双曲線の接線は px/c2-qy/d2=1 で、

 その法線ベクトル (p/a2,q/b2),(p/c2,-q/d2) の内積は

 p2/(a2c2)-q2/(b2d2)

  =(a2-c2)p2/(ka2c2)-(b2+d2)q2/(kb2d2)

  =p2/(kc2)-p2/(ka2)-q2/(kd2)-q2/(kb2)

  =(p2/c2-q2/d2)/k-(p2/a2+q2/b2)/k

  =1/k-1/k=0

 となって、Pでの楕円の接線と双曲線の接線は直交することが分かります。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

レンゲソウ青空に向かって~
沢山咲いていますね!
こちらでは見たことないような…

アキチャン  
No title

おはようございます。
レンゲ、一面に咲くと田畑を見るのがたのしみですね(o^-^o)
そういえば、私も今の場所に来てからは見ることがありません。
郊外にでかけないと!( ´ ▽ ` )ノ

樹☆  
No title

わぁ~ありがとうございます。
れんげそう・・大すきです。
ほんの昔ですが・・子供のころ、ティアラや指輪、首飾り
を作って遊んでました。
今はほんとに見られません。
わざわざ田んぼに植えてると聞いたことがあります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
直交するところが肝ですね ^^;
2次曲線の性質が十分理解できてないわたしは調べまくりましたぁ…
Orz

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
青空と蓮華の花が良いですネ
此方では田んぼの蓮華は田も耕されて見れなくなりました

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
レンゲソウは下から撮るのが難しいですが、
何枚も撮っていれば青空が入りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私も幼い頃は近くでよく見たものですが、
今は郊外に出かけないと見られません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
子供の頃はレンゲソウをよく見ました。
今でも見ると懐かしく、毎年撮っています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
直交することは式での証明は面倒です。
やはり幾何の知識をうまく組み合わせるべきですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでももうすぐ耕されそうです。
晴れた日のレンゲソウは綺麗に見えます。

ニリンソウ  
No title

はぁ~~レンゲソウいいね!
以前にも言ったけど新潟ではみれない野草
なんでかな? みたいなといつも思います。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
レンゲソウをアップしてニリンソウさんのコメントを頂くと、
米どころの新潟で見られないのがいつも不思議です。
もちろん、こちらでも子供の頃に比べれば少ないです。