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[答994] 2個の碁石の斜めの配置

ヤドカリ

ヤドカリ



[答994] 2個の碁石の斜めの配置


 図は碁石を2個を 7×10 の方眼の中に斜め45゚の位置に配置した2つの例です。

 このような配置の仕方は全部で 308 通りあります。

 では、m≦n として、碁石を2個を m×n の方眼の中に斜め45゚の位置に配置する方法が

 6528 通りのとき、自然数の組(m,n)=?

 ただし、明らかな (m,n)=(2,3265) を除きます。


[解答1]

 まず、 7×10 の方眼の中に、右側の石が上にあるような配置の仕方は、

 黄色の部分では、図のように番号を書き込むと、1 ~ 7 の自然数から3個を選び、

 例えば 6,4,1 を選ぶと 64,61 に碁石を置けばよいので、73=35 通りです。

 これば水色の部分でも同じです。

 ピンクの部分では 同じ斜めの筋に2個の碁石を置けばよいので、72=21 通りです。

 また、斜めの筋は 10-(7-1)=4 個あります。

 さらに、右側の石が下にあるような配置の仕方も同数あります。

 従って、配置の仕方は全部で 2(2・35+4・21)=308 通りです。

 同様に考えて、m×n の方眼では、

 2・{2・m3+(n-m+1)・m2

  =2・{2m(m-1)(m-2)/6+(n-m+1)m(m-1)/2}=2m(m-1)(m-2)/3+(n-m+1)m(m-1)

  ={2(m-2)+3(n-m+1)}m(m-1)/3=m(m-1)(3n-m-1)/3 通りです。

 よって、m(m-1)(3n-m-1)/3=6528 、m(m-1)(3n-m-1)=3・6528=27・32・17 です。

 ここで、m,m-1 の片方は奇数で、

 27・32・17 の約数で奇数のものは 1,3,9,17,51,153 ですので、

 m=1,3,9,17,51,153 とすれば m-1 も 27・32・17 の約数になるのは m=3,9,17 、

 m-1=1,3,9,17,51,153 とすれば m も 27・32・17 の約数になるのは m=2,4,18 、

 (m,3n-m-1)=(2,9792),(3,3264),(4,1632),(9,272),(17,72),(18,64) 、

 (m,3n)=(2,9795),(3,3268),(4,1637),(9,282),(17,90),(18,83) 、

 (m,n)=(2,3265),(3,3268/3),(4,1637/3),(9,94),(17,30),(18,83/3) 、

 (m,n)=(2,3265) と自然数でないものを除き、(m,n)=(9,94),(17,30) です。


[解答2]

 m×m の方眼の縦横の線でできる 2×2 以上の正方形の数は、

 m×m が 12 個,(m-1)×(m-1) が 22 個,……,2×2 が (m-1)2 個の、

 12+22+……+(m-1)2=(m-1)m(2m-1)/6 個です。

 方眼を1列増やして 増える 2×2 以上の正方形の数は、

 m×m が 1 個,(m-1)×(m-1) が 2 個,……,2×2 が (m-1) 個の、

 1+2+……+(m-1)=(m-1)m/2 個です。

 よって、m×n の方眼の縦横の線でできる 2×2 以上の正方形の数は、

 (m-1)m(2m-1)/6+(n-m)(m-1)m/2={(2m-1)+3(n-m)}(m-1)m/6=(m-1)m(3n-m-1)/6 個、

 正方形の隅に斜めに2個の碁石を配置する方法は2通りずつあるので、(m-1)m(3n-m-1)/3 通り、

 あとは [解答1]と同じです。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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花と一緒にプロペラ付いてる!
モミジの花はなかなか見れないです。

こっこちゃん  
No title

此方は紅葉のプロペラ終わり

青緑になり 赤く染まりかけています ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
新緑の季節 もみじの花も種が出来ているのもあるのですネ
プロペラがとても可愛いですネ

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

ハウチワカエデかな、山もみじかな!
こんな花が咲いて種が出来て
小さな芽が出てくる・・・生命力に感心します。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
2~n-1個それぞれから、2個選べばいいことに気付けたので解答に至れましたが...^^…n~1から3個の数を選ぶという発想は素敵ですね☆
Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
モミジの花が目についたので撮ってみました。
プロペラも一緒でラッキーでした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
流石に宮崎の方はプロペラも終わっていますか。
紅葉もいいですが、新緑の頃のモミジもいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
新緑の季節のモミジ、なかなか面白いですね。
今まで被写体にしなかったものも見直す必要がありそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
イタヤという品種のカエデです。
小さな種から小さな芽が出て何十年も何百年も生きる生命力は凄いですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
いろいろと解き方はあると思います。
計算が簡単になる発想ができたら嬉しいですね。

樹☆  
No title

こんばんは
考えもしなかったですが・・もみじにもお花ありますよね。
可愛い、可愛い。実家に樹があって小さい時から見てる
はずなのに気がつかなかったです^^

アキチャン  
No title

おはようございます。
プロベラは何度か撮ってますが、お花はないのですね。今、どこかで見ることができるかしら。。かわいいですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私も去年まであまり意識しなかったのですが、
今年はなぜか花が目につきました。
美しい色ではありませんが、小さく可愛い花です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花期が短いのですがタイミングよく撮れました。
今、見られるかどうか分かりませんが、見つかればいいですね。