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[答996] 四面体数

ヤドカリ

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[答996] 四面体数


 図は 直径が 1 の球を 正三角形状に並べたものを積み上げて 正四面体状にしたものです。

 図では7段積み上げたもので、球の個数は 84個ですが、100段積み上げるのに必要な球の個数は?

 また、100段積み上げた球をすべてが入るような最小の正四面体のケースをつくるとき、

 その内のりの1辺の長さは?

 球を正三角形状に並べるときや正四面体状に積み上げるとき、隣り合う球は接するものとします。


[解答]

 上からk段目の球の個数は、

 1+2+3+……+k=k(k+1)/2=-(k-1)k(k+1)/6+k(k+1)(k+2)/6 だから、

 求める 100段までの個数の和は k=1,2,3,……,100 を代入して加え、

 100(100+1)(100+2)/6=171700 です。

 後半は、

 図のように 立方体ABCD-EFGH の 頂点B,D,E,G を頂点とする正四面体について、

 対角線AGと正三角形BDEの交点をPとします。

 正三角錐ABDEの体積は立方体の 1/6 ,正四面体BDEGの体積は立方体の 1-4・1/6=1/3 だから、

 AP:PG=1/6:1/3=1:2 となって、PG=(2/3)AG です。

 PG-AG/2=(2/3-1/2)AG=AG/6=AB(√3)/6=(BD/√2)(√3)/6=BD/(2√6) だから、

 正四面体について、内接する球の半径は 1辺の長さの 1/(2√6) 倍 です。

 端に位置する4個の球の中心を頂点とする正四面体の1辺は 99 なので、

 内接する球の半径は 99/(2√6) 、求める正四面体に内接する球の半径は 99/(2√6)+1/2 、

 正四面体の1辺はその 2√6 倍で、99+√6 です。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
たんぽぽですか?かわいい色ですね(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

モモイロタンポポというのでしょうか~
やさしい色と花姿ですね~

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪

ピンクタンポポでしょうか!?
可愛いですネ!!

ナイス♪

樹☆  
No title

おはようございます。
桃色タンポポ・・ほんとの名前はあるのでしょうけど
これがぴったりしますね。八重の花弁が可愛いです。
千枚ほんとにあるのかな。。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
タンポポと似ていますのでモモイロタンポポと言いますが、
タンポポとは違う種類だそうです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
モモイロタンポポという名前がピッタリですね。
この花の存在は知っていましたが、初めて見ました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクタンポポでも検索できますが、モモイロタンポポというようです。
初めて見ましたが、可愛い花です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
クレピス,センボンタンポポとも言うそうですが、
モモイロタンポポが一般的な言い方のようです。
ヨーロッパ原産だそうです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
頂点に出来る正四面体の各面に球が内接する場合として求めました…^^;
球は辺から離れていることに途中で気がつきました…Orz~v
この労作の図の描き方が知りたいものです ^^☆

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
図の描き方は、円1個から初めて重ねただけです。
Paint の「透明の選択」を設定したり解除したりしながら。