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[答998] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答998] 漸化式で表された数列


 2つの数列{ an },{ bn } があって、n=2,3,4,…… について、

 an=10an-1+n ,bn=10bn-1+10-n を満たしています。

 a1=1 ,8a1000+1000=b1000 のとき、b1=? b2=?


[解答1]

 an=10an-1+n より

 an+n/9+10/81=10an-1+10n/9+10/81=10an-1+10(n-1)/9+100/81 、

 an+n/9+10/81=10{an-1+(n-1)/9+10/81} だから、

 数列{ an+n/9+10/81 }は 公比 10 の等比数列になり、

 an+n/9+10/81=(a1+1/9+10/81)・10n-1=10n+1/81 、an=(10n+1-10-9n)/81 です。

 an+bn=10(an-1+bn-1)+10 より

 an+bn+10/9=10(an-1+bn-1)+100/9 、

 an+bn+10/9=10(an-1+bn-1+10/9) だから、

 数列{ an+bn+10/9 }は 公比 10 の等比数列になり、

 an+bn+10/9=(a1+b1+10/9)・10n-1=(b1+19/9)・10n-1 、an+bn=(b1+19/9)・10n-1-10/9 です。

 8a1000+1000=b1000 だから、

 9a1000+1000=a1000+b1000 、(101001-10-9000)/9+1000=(b1+19/9)・10999-10/9 、

 101001/9=(9b1+19)・10999/9 、b1=9 、b2=10b1+10-2=10・9+8=98 です。

 なお、an+bn=(10n+1-10)/9 になり、bn=(8・10n+1+9n-80)/81 です。


[解答2]

 8ak+k-bk=8(10ak-1+k)+k-(10bk-1+10-k)=80ak-1+8k+k-10bk-1-10+k

  =80ak-1+10k-10-10bk-1=10(8ak-1+k-1-bk-1) だから、

 8ak+k=bk ⇔ 8ak-1+k-1=bk-1 です。

 8an+n=bn が n=1000 のときに成り立つので、すべての自然数 n について成り立ちます。

 よって、b1=8a1+1=8・1+1=9 、b2=10b1+10-2=10・9+8=98 です。


☆ 元ネタは上の図の等式です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

キングサリというのでしょうか~
藤のように下がって咲くのですネ
ほんのわずか咲いているのしか見たことないです。

樹☆  
No title

こんにちは
「金鎖」と書いてキングサリー・・ほんとかなと思いましたよ。
藤のようにたわわで咲いてる様は、とても美しかったです。
写真でしか見たことありませんが。。笑

ニリンソウ  
No title

キングサリも目立って来ています。
金の鎖とはピッタリの命名だと感心しますね。
今日も外に出たくない・・真夏日です。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
キングサリのようですね
今年は1度も見ることが出来ませんでした
黄色の花が鎖を垂らしてあるように見えますね♪

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、キングサリです。
金色の鎖が垂れ下がっているようで、見事です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
藤のように垂れ下がっている本物を見る機会があればいいですね。
キングサリーとは思いませんでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
そちらでももうすぐ見られるのですね。
私もピッタリの命名だと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今年、私はいい時期にであって、鎖らしい姿が見られました。
このような花は見頃に毎年見たいものです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わかりませんでした ^^;
面白い構造が背景にあったのですね☆
何かありそうでしたが…見抜けませんでしたぁ…^^;;…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答1]のように漸化式として普通に解けるのですが、
慣れていないと解けませんね。
背景まで見抜ければ大したものです。