[答998] 漸化式で表された数列

[答998] 漸化式で表された数列


　２つの数列｛ a_n ｝，｛ b_n ｝ があって、n＝2，3，4，…… について、

　a_n＝10a_n-1＋n ，b_n＝10b_n-1＋10－n を満たしています。

　a₁＝1 ，8a₁₀₀₀＋1000＝b₁₀₀₀ のとき、b₁＝？　b₂＝？


[解答1]

　a_n＝10a_n-1＋n より

　a_n＋n/9＋10/81＝10a_n-1＋10n/9＋10/81＝10a_n-1＋10(n－1)/9＋100/81 、

　a_n＋n/9＋10/81＝10｛a_n-1＋(n－1)/9＋10/81｝ だから、

　数列｛ a_n＋n/9＋10/81 ｝は 公比 10 の等比数列になり、

　a_n＋n/9＋10/81＝(a₁＋1/9＋10/81)･10^n-1＝10ⁿ⁺¹/81 、a_n＝(10ⁿ⁺¹－10－9n)/81 です。

　a_n＋b_n＝10(a_n-1＋b_n-1)＋10 より

　a_n＋b_n＋10/9＝10(a_n-1＋b_n-1)＋100/9 、

　a_n＋b_n＋10/9＝10(a_n-1＋b_n-1＋10/9) だから、

　数列｛ a_n＋b_n＋10/9 ｝は 公比 10 の等比数列になり、

　a_n＋b_n＋10/9＝(a₁＋b₁＋10/9)･10^n-1＝(b₁＋19/9)･10^n-1 、a_n＋b_n＝(b₁＋19/9)･10^n-1－10/9 です。

　8a₁₀₀₀＋1000＝b₁₀₀₀ だから、

　9a₁₀₀₀＋1000＝a₁₀₀₀＋b₁₀₀₀ 、(10¹⁰⁰¹－10－9000)/9＋1000＝(b₁＋19/9)･10⁹⁹⁹－10/9 、

　10¹⁰⁰¹/9＝(9b₁＋19)･10⁹⁹⁹/9 、b₁＝9 、b₂＝10b₁＋10－2＝10･9＋8＝98 です。

　なお、a_n＋b_n＝(10ⁿ⁺¹－10)/9 になり、b_n＝(8･10ⁿ⁺¹＋9n－80)/81 です。


[解答2]

　8a_k＋k－b_k＝8(10a_k-1＋k)＋k－(10b_k-1＋10－k)＝80a_k-1＋8k＋k－10b_k-1－10＋k

　 ＝80a_k-1＋10k－10－10b_k-1＝10(8a_k-1＋k－1－b_k-1) だから、

　8a_k＋k＝b_k ⇔ 8a_k-1＋k－1＝b_k-1 です。

　8a_n＋n＝b_n が n＝1000 のときに成り立つので、すべての自然数 n について成り立ちます。

　よって、b₁＝8a₁＋1＝8･1＋1＝9 、b₂＝10b₁＋10－2＝10･9＋8＝98 です。


☆ 元ネタは上の図の等式です。

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