[答998] 漸化式で表された数列
[答998] 漸化式で表された数列
2つの数列{ an },{ bn } があって、n=2,3,4,…… について、
an=10an-1+n ,bn=10bn-1+10-n を満たしています。
a1=1 ,8a1000+1000=b1000 のとき、b1=? b2=?
[解答1]
an=10an-1+n より
an+n/9+10/81=10an-1+10n/9+10/81=10an-1+10(n-1)/9+100/81 、
an+n/9+10/81=10{an-1+(n-1)/9+10/81} だから、
数列{ an+n/9+10/81 }は 公比 10 の等比数列になり、
an+n/9+10/81=(a1+1/9+10/81)・10n-1=10n+1/81 、an=(10n+1-10-9n)/81 です。
an+bn=10(an-1+bn-1)+10 より
an+bn+10/9=10(an-1+bn-1)+100/9 、
an+bn+10/9=10(an-1+bn-1+10/9) だから、
数列{ an+bn+10/9 }は 公比 10 の等比数列になり、
an+bn+10/9=(a1+b1+10/9)・10n-1=(b1+19/9)・10n-1 、an+bn=(b1+19/9)・10n-1-10/9 です。
8a1000+1000=b1000 だから、
9a1000+1000=a1000+b1000 、(101001-10-9000)/9+1000=(b1+19/9)・10999-10/9 、
101001/9=(9b1+19)・10999/9 、b1=9 、b2=10b1+10-2=10・9+8=98 です。
なお、an+bn=(10n+1-10)/9 になり、bn=(8・10n+1+9n-80)/81 です。
[解答2]
8ak+k-bk=8(10ak-1+k)+k-(10bk-1+10-k)=80ak-1+8k+k-10bk-1-10+k
=80ak-1+10k-10-10bk-1=10(8ak-1+k-1-bk-1) だから、
8ak+k=bk ⇔ 8ak-1+k-1=bk-1 です。
8an+n=bn が n=1000 のときに成り立つので、すべての自然数 n について成り立ちます。
よって、b1=8a1+1=8・1+1=9 、b2=10b1+10-2=10・9+8=98 です。
☆ 元ネタは上の図の等式です。
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