[答999] 上2桁と下2桁の和
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[答999] 上2桁と下2桁の和
n は5桁の自然数で、9n は6桁の自然数です。
n の上1桁 と 9n の下1桁が一致し、n の下4桁 と 9n の上4桁も一致します。
このとき、n の百の位の数は? また、n の上2桁と下2桁の和は?
[解答1]
n の上1桁 と 9n の下1桁を a ,n の下4桁 と 9n の上4桁を b ,9n の十の位を c とすれば、
n=10000a+b ,9n=100b+10c+a だから、
9(10000a+b)=100b+10c+a 、89999a-91b=10c 、91(989a-b)=10c 、
ここで、c は 0以上 9以下の整数で 91の倍数だから c=0 で、b=989a になります。
また、a は 1以上 9以下の整数 ,b は 1000以上 9999以下の整数 だから、a=2,3,……,9 です。
従って、n=10000a+b=10989a=11000a-11a=1000(11a-1)+900+(100-11a) となって、
n の百の位は 9 で、 (11a-1)+(100-11a)=99 より 上2桁と下2桁の和は 99 です。
[解答2]
n の上1桁 と 9n の下1桁を a ,9n の十の位を c とすれば、
100n と 9n は 十万の位から百の位まで一致しますので、
100n-9n=1000000a-(10c+a) 、91n=999999a-10c 、n=10989a-10c/91 、
よって、c=0 ,n=10989a=11000a-11a=1000(11a-1)+(1000-11a) となって、
5桁の自然数 n を上2桁と下3桁の和は (11a-1)+(1000-11a)=999 、
n の百の位は 9 で、上2桁と下2桁の和は 99 です。
☆ 11000a-11a は、a が 1 増えると、上2桁が 11増え、下2桁が 11減ることを示しています。
a=1 は本問には適しませんが、a が 1 から 9 のときの 10989a の値は、次のようになります。
10989,21978,32967,43956,54945,65934,76923,87912,98901
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