[答999] 上２桁と下２桁の和

'


[答999] 上２桁と下２桁の和


　n は５桁の自然数で、9n は６桁の自然数です。

　n の上１桁 と 9n の下１桁が一致し、n の下４桁 と 9n の上４桁も一致します。

　このとき、n の百の位の数は？　また、n の上２桁と下２桁の和は？


[解答1]

　n の上１桁 と 9n の下１桁を a ，n の下４桁 と 9n の上４桁を b ，9n の十の位を c とすれば、

　n＝10000a＋b ，9n＝100b＋10c＋a だから、

　9(10000a＋b)＝100b＋10c＋a 、89999a－91b＝10c 、91(989a－b)＝10c 、

　ここで、c は 0以上 9以下の整数で 91の倍数だから c＝0 で、b＝989a になります。

　また、a は 1以上 9以下の整数 ，b は 1000以上 9999以下の整数 だから、a＝2，3，……，9 です。

　従って、n＝10000a＋b＝10989a＝11000a－11a＝1000(11a－1)＋900＋(100－11a) となって、

　n の百の位は 9 で、 (11a－1)＋(100－11a)＝99 より 上２桁と下２桁の和は 99 です。


[解答2]

　n の上１桁 と 9n の下１桁を a ，9n の十の位を c とすれば、

　100n と 9n は 十万の位から百の位まで一致しますので、

　100n－9n＝1000000a－(10c＋a) 、91n＝999999a－10c 、n＝10989a－10c/91 、

　よって、c＝0 ，n＝10989a＝11000a－11a＝1000(11a－1)＋(1000－11a) となって、

　５桁の自然数 n を上２桁と下３桁の和は (11a－1)＋(1000－11a)＝999 、

　n の百の位は 9 で、上２桁と下２桁の和は 99 です。


☆ 11000a－11a は、a が 1 増えると、上２桁が 11増え、下２桁が 11減ることを示しています。

　a＝1 は本問には適しませんが、a が 1 から 9 のときの 10989a の値は、次のようになります。

　10989，21978，32967，43956，54945，65934，76923，87912，98901　

.