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[答1000] 距離の2乗の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1000] 距離の2乗の最大値


 z1=9i,zn+1=26+81/zn (n=1,2,3,……) で与えられる数列{zn}があります。

 この数列の2つの項 zm,zn について、|zm-zn|2 の最大値は?


[解答]

 複素数 z について、その共役複素数を z' で表すことにします。

 an=|zn-13|2 とおけば、a1=|9i-13|2=250 で、

 an=|zn-13|2=|zn|2-13zn-13zn'+169 だから、13zn+13zn'=|zn|2+169-an

 an+1=|zn+1-13|2=|13+81/zn|2=169+13・81/zn+13・81/zn'+812/|zn|2

  =169+81(13/zn+13/zn'+81/|zn|2)=169+81(13zn'+13zn+81)/|zn|2

  =169+81(|zn|2+169-an+81)/|zn|2=250+81(250-an)/|zn|2

 ここで、a1=250 だから、すべての自然数nについて、an=250 になり、

 |zn-13|=5√10 だから、複素平面上で zn は 中心が 13 で 半径が 5√10 の円周上にあることになります。

 z2=26+81/z1=26+81/(9i)=26-9i 、(z1+z2)/2=13 だから、

 z1,z2 はこの円の直径の両端になり、このときに |zm-zn|2 は最大です。

 最大値は、|z1-z2|2=(2・5√10)2=1000 です。

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Comments 13

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樹☆  
No title

おはようございます。
このお花は何でしょう。鮮やかな色合いですね。

ひとりしずか  
No title

南国の花ですか?
葉蔭で涼んでいるような・・・

ニリンソウ  
No title

ユリノキだ!
チューリップツリーだ。
一個の花は一日花のようです。

ナイス

ひとりしずか  
No title

ユリノキですねネ
今ニリンソウさんのブログで見てきました!
以前花調べの記事にしていました。

さっちゃんこ  
No title

こんばん
ユリノキの花 奇麗ですね
未だ一度も見たことの無い花なので憧れの花です

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なはぁ~っ ^^;;
わたしのは...あまりにもいい加減でしたわ Orz..
こんな式変形は思い付けましぇん…^^;…☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この花はユリノキの花です。ユリノキは高くて撮りにくいですが、
比較的低いユリノキのある所まで散歩して撮ってきました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私も花の名前を調べても時間の経過とともに忘れます。
ただ、気に入った花の実物を見たら中々忘れません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
ニリンソウさんのブログでも見せて頂きました。
ユリノキは咲く季節があまり変わらないようですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
モクレン科の花はだいたい白いものが多いのですが、
ユリノキは不思議な色ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
式変形は思い付かなくても、
こんな方法もあるのだと思って頂けるだけでも結構です。

アキチャン  
No title

チューリップのようなユリノキのお花、高いところで咲いていると思っていますが、
よく撮れていますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ユリノキの花は、仰るように、高い所に咲くので撮りにくいです。
ただ、比較的低い樹がある場所を知っているので、そこに撮りに行きました。