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[答1002] 数列の和に近い整数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1002] 数列の和に近い整数


 数列 3√15,3√1155,3√111555,3√11115555,3√1111155555,…… の第n項は、

 √の中に 1がn個,5がn個並んでいます。

 この数列の初項から第1000項までの和に一番近い整数は何桁? また、この整数の数字全部の和は?


[解答]

 この数列の第n項を an とすれば、

 an=3√{(102n-1)/9+4・(10n-1)/9} =√(102n+4・10n-5) 、

 bn=√(102n+4・10n+4) とすれば、bn=10n+2 、10n<an<bn となって、

 bn-an=9/(bn+an)<9/(2・10n) 、

 数列{9/(2・10n)}の 初項から第n項までの和は

 (9/20)(1-1/10n)/(1-1/10)=1/2-1/(2・10n)<1/2 ですので、

 { an }の初項から第n項までの和に一番近い整数は、{ bn }の初項から第n項までの和になります。

 b1=12,b2=102,b3=1002,b4=10002,b5=100002,b6=1000002,…… だから、

 111111…1111110 を 1が 1000個並んだ数のあとに 0が1個つく数として、

 第1000項までの和は 111111…1111110+2・1000=111111…1113110 、

 1001桁の数で、数字の和は 1002 です。

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Comments 11

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ニリンソウ  
No title

マメ科の花ですね。 ニワフジ?
梅雨入りしたものの今日も晴れです。

ひとりしずか  
No title

夜明け前雷の音に目が覚めました

優しい色

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
庭フジのようですが良くわかりません
蓮華の花にも似ていますね♪

ナイス♪

ヤドカリ  
No title


写真の花はタマザキクサフジ(玉咲草藤)、
白からピンクへの色の階調がきれいです。
戦後輸入して植えられてそうです。
花はレンゲに、葉はカラスノエンドウに似ています。
園芸店で売られる時の呼び名はクラウン・ベッチです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
写真の花は上に記しましたようにタマザキクサフジです。
こちらも、梅雨の晴れ間ですが、湿度は高いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
勝った値はレンゲのようで、色はピンク、
白に近いものやもっと濃いピンクもあって、綺麗です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
上に書きましたように、タマザキクサフジです。
蓮華のような形の花と、烏の豌豆のような葉が目立ちます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
評価が巧すぎ ^^;
気づけましぇん…Orz
類似問が出ても...使えるかどうか怪しい…^^;;

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
aとbが近い数のとき、√a-√b の誤差を求めるのに、
分子の有理化といゆてだてがあります。

樹☆  
No title

蓮華草と間違いそう。。
タマザキクサフジというのですね。
淡いピンクの色がいい感じですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
タマザキフサフジは外来種でだんだん広がっているようです。
レンゲソウのような花とカラスノエンドウのような葉が特徴です。