[答1003] 三角形の面積の最大値

[答1003] 三角形の面積の最大値


　BC＝10，CA＝2AB である △ABCの面積の最大値は？


[解答1]

　AB＝2k とすれば CA＝4k 、(10＋4k＋2k)/2＝3k＋5 だから ヘロンの公式により、

　△ABC＝√｛(3k＋5)(3k＋5－10)(3k＋5－2k)(3k＋5－4k)｝＝√｛(3k＋5)(3k－5)(k＋5)(－k＋5)｝

　 ＝√｛(9k²－25)(－k²＋25)｝＝3√｛(k²－25/9)(－k²＋25)｝

　 ≦3｛(k²－25/9)＋(－k²＋25)｝/2＝3(200/9)/2＝100/3

　等号が成立するのは k²－25/9＝－k²＋25 、k²＝125/9 、k＝(5√5)/3 のとき、

　最大値は 100/3 です。


[解答2]

　線分BCを 1：2 に 内分する点をP，外分する点をQ とすれば、

　AP は ∠A の内角の二等分線，AQ は ∠A の外角の二等分線ですので、

　∠PAQ＝90ﾟ 、Aは PQを直径とする円周上にあることになります。

　△ABCが最大であるとき、BCを底辺とする高さは PQ/2＝(QB＋BP)/2＝(10＋10/3)/2＝20/3 、

　このとき、△ABC＝(1/2)･10･20/3＝100/3 です。

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