[答1003] 三角形の面積の最大値
[答1003] 三角形の面積の最大値
BC=10,CA=2AB である △ABCの面積の最大値は?
[解答1]
AB=2k とすれば CA=4k 、(10+4k+2k)/2=3k+5 だから ヘロンの公式により、
△ABC=√{(3k+5)(3k+5-10)(3k+5-2k)(3k+5-4k)}=√{(3k+5)(3k-5)(k+5)(-k+5)}
=√{(9k2-25)(-k2+25)}=3√{(k2-25/9)(-k2+25)}
≦3{(k2-25/9)+(-k2+25)}/2=3(200/9)/2=100/3
等号が成立するのは k2-25/9=-k2+25 、k2=125/9 、k=(5√5)/3 のとき、
最大値は 100/3 です。
[解答2]
線分BCを 1:2 に 内分する点をP,外分する点をQ とすれば、
AP は ∠A の内角の二等分線,AQ は ∠A の外角の二等分線ですので、
∠PAQ=90゚ 、Aは PQを直径とする円周上にあることになります。
△ABCが最大であるとき、BCを底辺とする高さは PQ/2=(QB+BP)/2=(10+10/3)/2=20/3 、
このとき、△ABC=(1/2)・10・20/3=100/3 です。
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