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[答1004] 同心円と面積

ヤドカリ

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[答1004] 同心円と面積


 直径が 3,6,9,12,……,3n の同心円と2本の半径を描いて、青と黄色を交互に塗ります。

 ( 図は n=7 で 中央の青の扇形の中心角が 90゚ の場合です。)

 青の部分の面積が 11360π であるとき、自然数 n=? また、中央の青の扇形の中心角は?


[解答]

 a>b として、

 半径が a で中心角がθの扇形から 半径が b で中心角がθの扇形を除いた部分の面積は、

 a2θ/2-b2θ/2=(a+b)(a-b)θ/2=(aθ+bθ)(a-b)/2 なので、

 弧の部分の長さの和×幅÷2 として、台形のように面積が求められます。

 一番外の青の部分の円弧の長さが 円周の k倍 とすれば 0<k<1 で、

 青の部分全部のの円弧の長さの和は、3π+6π+9π+……+3(n-1)π+k・3nπ で、

 隣り合う同心円の幅は 3/2 だから、面積は、

 {3π+6π+9π+……+3(n-1)π+k・3nπ}(3/2)/2

  =3π(3/4){1+2+3+……+(n-1)+kn}=(9π/4){(n-1)n/2+kn}

  =(9π/4)(n/2)(n-1+2k)=9n(n-1+2k)π/8 です。

 よって、9n(n-1+2k)π/8=11360π 、n(n-1+2k)=90880/9=10097+7/9 です。

 ここで、 0<k<1 だから、(n-1)n<n(n-1+2k)<n(n+1) になり、

 99・100=9900,100・101=10100 だから、n=100 です。

 よって、100(99+2k)=90880/9 、99+2k=4544/45 、2k=89/45 、k=89/90=356/360 、

 nが偶数だから、中央の黄色の扇形の中心角が 356゚ で、青の扇形の中心角は 4゚ です。


[参考]

 上の[解答]のように、青色の面積は (9π/4){(n-1)n/2+kn} で、

 これは (最小の円の面積)・(三角数を除く正の数) の積になっています。

 従って、面積を (最小の円の面積)・(三角数) 以外の数値にすれば答は一意に定まります。

 ( (最小の円の面積)・(三角数) になるのは 中心角が 0゚,360゚ の場合です )

 その様子を たけちゃんさんが「十進BASIC」でプログラムしてくれました。

 以下にプログラムを記しますので、実行してみて下さい。

LET N_circle=10
LET N_divide=100000
SET WINDOW -N_circle-1,N_circle+1,-N_circle-1,N_circle+1
SET AREA COLOR 6
FOR n=1 TO N_circle
DRAW circle WITH SCALE(n)
flood n-.5,0
FOR t=0 TO N_divide
LET th=t/N_divide*2*PI
FOR i=1 TO n
SET LINE COLOR 2+4*MOD(n+i,2)
PLOT LINES: (i-1)*COS(th),(i-1)*SIN(th);i*COS(th),i*SIN(th)
NEXT i
NEXT T
NEXT N
END

.

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Comments 13

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

こんばんは
涼しげなポンテテリアが一杯咲いていますね!!
水草の花はどの花も涼しさを感じますね

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
俄には...上の式でいいことがわからず…^^;
台形で立式して、PCに計算させました Orz
満たす方は、青が外側のケースだけでした…

熟読玩味ぃ~^^;v
数列の和が何回してもはねつけられます…^^;;;…?

スモークマン  
No title


and...
プログラムはどこに放り込めば動くのか教えて頂けませんでしょうかしらん?~m(_ _);m~?

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ポンテデリアも水生植物で、しかも青いので涼しげですね。
沢山咲いていて、その根元でアサザを見ました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
青の部分の台形の上底と下底の全部の和は
一番外以外の円周全部と一番外の青の部分の和になります。
プログラムについては、まず十進BASICをダウンロードし、
立ち上げるとプログラム入力画面が出てきますので、
コピペして実行してください。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
Aha~!!
目から鱗がまたポロリ☆
お気に入り♪
プログラムの方のご指南いただきグラッチェです Orz~v

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
解決されたようでよかったです。

ニリンソウ  
No title

この涼しげな花を知りませんでした。
水辺・・・・どこかにあるかな?

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ポンテデリアは池などによく植えられています。
涼しげですので、だんだんポピュラーになっていくものと思います。

tsuyoshik1942  
No title

「参考・十進BASICプログラム」について
こんな少ない行で、動きのあるわかりやすい画像、さすがですね!


数値計算の補助(時には主体に)に、自分も使用しておりますが、グラフィックの経験はなく参考にさせていただきます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
プログラムも問題を解くためでなく、
このように使って頂けると大歓迎です。
私もグラフィックの勉強をしないといけないと思います。

樹☆  
No title

随分御無沙汰してました。
毎日暑くて・・ばてばてです。

お元気そうでよかったです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
お久しぶりです。
こちらも晴れたら暑く、曇っていたら蒸し暑い毎日です。
バテ気味ですが、何とかブログを続けています。