[答1005] 数列の第5001項

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[答1005] 数列の第5001項


　1，2，5/2，3，10/3，11/3，4，17/4，9/2，19/4，5，26/5，27/5，28/5，29/5，6，…… は、

　ｎを自然数、ｋを 0≦k＜n である整数として、

　n＋k/n の形で表される数を小さい順に並べてできる数列です。

　この数列の第5001項の値は？　

　次に、この数列の初項から第Ｎ項までの和を S_N とすると、S₅₀₀₁ は自然数ではありません。

　N＞5001 として、S_N が自然数になる最小の自然数Ｎについて S_N＝？


[解答]

　n＋k/n の形の項を第ｎ群とすれば、

　第ｎ群までの項数は 1＋2＋……＋n＝n(n＋1)/2 ですので、

　99･100/2＝4950，100･101/2＝5050 より、第5001項は第100群の第51項です。

　よって、第5001項は 100＋50/100＝100．5 です。

　第ｎ群の総和は n²＋1/n＋2/n＋……＋(n－1)/n＝n²＋(n－1)/2 になり、

　第ｎ群までの総和は n(n＋1)(2n＋1)/6＋n(n＋1)/4－n/2＝n(4n²＋9n－1)/12 ですので、

　第99群までの総和は 99(4･99²＋9･99－1)/12＝330775．5 です。

　第100群の第１項から第ｋ項までの和は

　100k＋1/100＋2/100＋3/100＋……＋(k－1)/100＝100k＋(k－1)k/200 であり、

　(k－1)k/200 の小数部分が 1/2 になるためには、

　(k－1)k が 200の倍数でない 100の倍数でなければなりません。

　51＜k＜100 でこの条件を満たすのは、k＝76 であり、

　このとき、第100群の第１項から第76項までの和は 100･76＋75･76/200＝7628．5 です。

　よって、N＝4950＋76＝5026 、S₅₀₂₆＝330775．5＋7628．5＝338404 です。

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