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[答1005] 数列の第5001項

ヤドカリ

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[答1005] 数列の第5001項


 1,2,5/2,3,10/3,11/3,4,17/4,9/2,19/4,5,26/5,27/5,28/5,29/5,6,…… は、

 nを自然数、kを 0≦k<n である整数として、

 n+k/n の形で表される数を小さい順に並べてできる数列です。

 この数列の第5001項の値は? 

 次に、この数列の初項から第N項までの和を SN とすると、S5001 は自然数ではありません。

 N>5001 として、SN が自然数になる最小の自然数Nについて SN=?


[解答]

 n+k/n の形の項を第n群とすれば、

 第n群までの項数は 1+2+……+n=n(n+1)/2 ですので、

 99・100/2=4950,100・101/2=5050 より、第5001項は第100群の第51項です。

 よって、第5001項は 100+50/100=100.5 です。

 第n群の総和は n2+1/n+2/n+……+(n-1)/n=n2+(n-1)/2 になり、

 第n群までの総和は n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/4-n/2=n(4n2+9n-1)/12 ですので、

 第99群までの総和は 99(4・992+9・99-1)/12=330775.5 です。

 第100群の第1項から第k項までの和は

 100k+1/100+2/100+3/100+……+(k-1)/100=100k+(k-1)k/200 であり、

 (k-1)k/200 の小数部分が 1/2 になるためには、

 (k-1)k が 200の倍数でない 100の倍数でなければなりません。

 51<k<100 でこの条件を満たすのは、k=76 であり、

 このとき、第100群の第1項から第76項までの和は 100・76+75・76/200=7628.5 です。

 よって、N=4950+76=5026 、S5026=330775.5+7628.5=338404 です。

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Comments 15

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ひとりしずか  
No title

ハンゲショウの花咲く丁度良い時期に出会えてなくて・・・
今日の誕生花になっているんですね。

マタタビの葉も白くなるところが似てますネ

こっこちゃん  
No title

ハンゲショウの花なのですね

ひとりしずかさん 花の名前詳しいですね ナイス☆

ひとりしずか  
No title

↑こっこちゃんさんへ~
そうでもないんですよ
花のサイトに投稿して教えてもらっています。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
暖かい地域でハンゲショウが咲くころ
道東ではミヤママタタビが同じような感じで葉が白く染まります。

ハンゲショウも素敵ですね。
ポチ☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
半夏生ですネ
今日は半夏生でタコを食べる日だそうです
今朝ラジオで言っていました
稲がタコの足のように大地に根付いて大きく育ち豊作になりますようにとの願いをこめてタコを食べるのだそうですね

余り此方ではそういう風習は無いみたいですけど・・・

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

半夏生にぴったりの植物ですね。
葉が化粧するなんて面白い。
湿地だととても増えるんですよ。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、半夏生です。
葉が白くなって、よく目立ちます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
今日は雑節の半夏生ということで、半夏生の花にしました。
半化粧とも書かれる通り、葉が白粉を塗っているようです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ミヤママタタビは見たことがありませんが、マタタビは知っています。
同じ様な感じで葉が白く染まります。
半夏生の方が葉は大きいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私もタコを食べる風習があることはネットで知りましたが、
此方ではそんな風習は聞いたことがありません。
湿度が高く体力を消耗しやすいので、栄養面でもタコはいいそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
確かに湿地でびっしりと化粧している姿は目につきます。
仰る通り、葉が化粧するのは面白いですし、
夏を過ぎると化粧を落としてしまいますよね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは...項数には気づけるも…
数えきれないくらい(ちょい大袈裟 ^^)計算し直し…最終的には、神から写し間違えてたという落ちでしたばい…^^;;…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
計算間違いだけのことでしたが、
かなりの時間をおかけしたようですね。

樹☆  
No title

わたしも半夏生のときは「タコ」を食べると
聞いたことがあります。
どこの地域かは忘れました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
タコを食べるのは、稲の根がタコの足のように、
丈夫に育つようにと願ったものだそうです。