FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1006] 立方体の頂点

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1006] 立方体の頂点


 空間内に3点 A(-1,1,1),B(7,6,4),C(8,-3,0) があります。

 立方体の8個の頂点のうち、3点が A,B,C であるとき、Aからいちばん遠い頂点の座標は?


[解答1]

 まず、BC=CA=AB=7√2 です。

 立方体の辺,面の対角線,立方体の対角線の長さの比は 1:√2:√3 だから、

 BC=CA=AB より、BC,CA,AB は面の対角線しか考えられません。

 求める点を P(x,y,z) とすれば、AP=7√3 ,BP=CP=7 です。

 AP2=(x+1)2+(y-1)2+(z-1)2=147 、x2+y2+z2+2x-2y-2z=144 ……(1)

 BP2=(x-7)2+(y-6)2+(z-4)2=49 、x2+y2+z2-14x-12y-8z=-52 ……(2)

 CP2=(x-8)2+(y+3)2+z2=49 、x2+y2+z2-16x+6y=-24 ……(3)

 (1)-(3) より 18x-8y-2z=168 、9x-4y-z=84 ……(4)

 (2)-(3) より 2x-18y-8z=-28 、x-9y-4z=-14 ……(5)

 (4)×4-(5) より 35x-7y=350 、y=5x-50 、

 (4)に代入して 9x-4(5x-50)-z=84 、z=-11x+116 、

 これらを(3)に代入して、x2+(5x-50)2+(-11x+116)2-16x+6(5x-50)=-24 、

 簡単にして、3x2-62x+320=0 、(x-10)(3x-32)=0 、x=10,32/3 です。

 x=10 のとき y=5・10-50=0 ,z=-11・10+116=6 、

 x=32/3 のとき y=5・32/3-50=10/3 ,z=-11・32/3+116=-4/3 だから、

 求める頂点は、(10,0,6),(32/3,10/3,-4/3) です。


[解答2]

 原点を O とし、ベクトルは太字で表すものとします。

 まず、BC=CA=AB=7√2 ですので、正四面体QABCをつくれば、Q は立方体の頂点のひとつです。

 AB=(8,5,3),AC=(9,-4,-1) 、AB×AC=7(1,5,-11) で、

 △ABCの重心は(14/3,4/3,5/3)だから、Q(14/3+t,4/3+5t,5/3-11t) と表せます。

 AQ2=(17/3+t)2+(1/3+5t)2+(2/3-11t)2=98 だから、147t2=196/3 、t=±2/3 です。

 ここで、求める点を P とすれば、

 PAPBPCPQ だから、OAOPOBOPOCOPOQOP

 OP=(OBOCOQOA)/2=(31/3+t/2,5/3+5t/2,7/3-11t/2)

 t=±2/3 だから OP=(32/3,10/3,-4/3),(10,0,6) です。


[解答3] たけちゃんさんのコメントより

 AB=BC=CA=7√2 であるから,AB,BC,CAは立方体の面の対角線であり,立方体の一辺は 7.

 以下,A,B,Cのすべてに隣接する頂点をP,求める頂点をQとし,

 Oを始点とするA,B,C,P,Qの位置ベクトルをabcpqと表す.

 (ap)×(bp)=±7(cp),(bp)×(cp)=±7(ap),(cp)×(ap)=±7(bp) (複号同順)

 であるから,辺々加えて,

 a×bb×cc×a-(a×pp×bb×pp×cc×pp×a)+3p×p=±7(abc-3p).

 外積の性質から,a×bb×cc×a=±7(abc-3p) となって,

 p=(abc)/3±(a×bb×cc×a)/21.

 q=(bc)-p=(-a+2b+2c)/3±(a×bb×cc×a)/21

  =((31,5,7)±(1,5,-11))/3=(10,0,6),(32/3,10/3,-4/3).

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
久々の1番です( ´ ▽ ` )ノ
白いのもきれいですね(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
真っ白なアガパンサス 今此方でも咲いていますが
清楚な感じが良いですネ!!
ブルーの花より少し咲きだすのが遅いようですね♪

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

白は見たことないです!
蕾がみんな咲いたら見応えありそう~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
直交条件から求めていきましたが…2点とも条件を満たすことは確認できましたが...頭の中でその立体が描けません…^^;;
2個の立方体を簡略でいいから図示して頂けたらありがたいのですが …
~m(_ _)m~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アガパンサスは薄紫が多いですが、白はたまに見かけます。
毎年、両方とも見たいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
言われてみると、咲き出すのは少し遅いかも知れません。
薄紫色もけっこう長い間 咲いていますので、気づきませんでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
白は珍しいので、なかなか見られないかも知れませんが、
たまに見かけます。ひとりしずかさんも出会えればいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
2つの立方体は△ABC(平面ABC)に関して対称なものを考えてください。
Qは△ABCの重心に関して対称にとります。
図はけっこう面倒ですので、ご容赦下さい。

ニリンソウ  
No title

白もあるのですね~
探してみようかな・・・青もいいのだけど
明日は雨らしいし。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
確かに雨に似合う花ですね。
ところで、こちらは明日は猛暑日の予報、
昨日・今日とうだるような暑さを体験しているので、
土砂降りでなければ雨もいいかなと思います。

樹☆  
No title

わぁ~~白いのもあるんですね。
わたし見たことがないです。
すてきです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
白のアガパンサスは少ないですが、たまに見かけます。
薄紫より清々しさを私は感じます。