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[答1007] n進法と倍数

ヤドカリ

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[答1007] n進法と倍数


 n進法で 1007(n) が 53(n) の倍数であるとき n=?

 もちろん、0 から n-1 を表すn個の数字が用意されているものとします。


[解答]

 1007(n)=n3+7 ,53(n)=5n+3 で、n≧8 です。

 5n+3 と 5 は互いに素なので、

 n3+7 が 5n+3 の倍数 ⇔ 125(n3+7) が 5n+3 の倍数 、

 125(n3+7)/(5n+3)=25n2-15n+9+848/(5n+3) だから、

 125(n3+7) が 5n+3 の倍数 ⇔ 848 が 5n+3 の倍数 です。

 結局、5n+3 が 848=24・53 の約数であればよいことになります。

 また 5n+3≧43 に注意して、848 の約数で 43 以上のものは 53,106,212,424,848 、

 5n+3=53,848 のときだけnが整数になり、n=10,169 です。

 n=10 のとき (103+7)/(5・10+3)=1007/53=19 、

 n=169 のとき (1693+7)/(5・169+3)=4826816/848=5692 ですので、

 n=10,169 は両方とも適します。

 なお、1693+7 が 848 の倍数であることは、848=16・53 ですので、

 mod 16 で 1693+7≡93+7=9・81+7≡9+7≡0 、

 mod 53 で 1693+7≡103+7=1007≡0 になり、

 これなら、4826816 を扱わずに確かめられます。

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Comments 12

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tsuyoshik1942  
No title

解けず、PCの力を借りた答だけの解答でした。

解説を読ませていただき納得しました。
今は、どこか(おそらくこのサイト)で習い覚えた記憶が甦りました。

ニリンソウ  
No title

蒸しムシの日です!
真っ白な葉が清涼感ですね~インドハマユウでいいでしょうか。
ナイス

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
帯分数の形にすると分子が簡単になりますので、
割り切れるかどうかが、分かり易いと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
アフリカハマユウが明治に日本入って来て
インドハマユウと同定されたそうですが、
最近になって、別種だとわかったそうですが、
アフリカハマユウの別名がインドハマユウとしているサイトもあり、
よく分かりません。
名前がどちらであっても白い花が綺麗です。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
本来はアフラかハマユウとインドハマユウは別種らしいですが
私は敢てインドハマユウで通しています

其の方が何となく覚えやすいからです

ゆりのはなにも似た真っ白な花が良いですネ
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

こんばんわ。
ユリのようで、とても可憐できれいですね(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしゃアバウトに考えてましたわ ^^;
and…PCで確認させちゃいましたぁ Orz…
この分数式でいくなら...どんなパターンでも nは存在できそうな気がしてきたり…?...出現数字以下しかnがないときは無理だけど...

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
インドとアフリカ、ゾウなら区別できます。
それはそれとして、白い花が清々しさを感じさせます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
葉は全然違いますが、花はユリのようですね。
梅雨時期の花が少なくなってくる季節に、綺麗に咲いてくれます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
長いお付き合い、貴殿の大らかな考えには慣れてきました。
1007が53の倍数であるので、十進法以外では?と考えて作問しました。

樹☆  
No title

真っ白なお花はいいですね^^
どちらかわかりませんが・・笑

じとじとしてる時期に気持ちが爽やかになります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
インドハマユウで通っているのでそれでいいでしょう。
この花が咲くと、夏本番がもうすぐだと感じます。