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[答1008] 平方根が自然数

ヤドカリ

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[答1008] 平方根が自然数


 √(x2+1200) が自然数になる 自然数 x は、

 x=5,13,20,44,55,71,97,148,299 の9個ありますが、

 √(x2+n) が自然数になる 自然数 x が9個である 1200未満の自然数 n は?

 また、どんな自然数 x に対しても √(x2+n) が自然数でない 1200未満の自然数 n は何個?


[解答]

 y=√(x2+n) とおくと、y2=x2+n 、(y+x)(y-x)=n ですので、

 n=ab (a>b) とnを自然数の積で表し、x=(a-b)/2 とすればよいことになります。

 a,b はともに奇数またはともに偶数ですので、

 nが奇数のとき、a,b はnの約数で、その組み合わせは [(nの約数の個数)/2] 通り、

 nが4の倍数のとき、a/2,b/2 は n/4 の約数、その組み合わせは [(n/4の約数の個数)/2] 通り、

 nが4の倍数でない偶数のときは、a,b は偶数と奇数ですので、xは自然数になりません。

 自然数 x が9個の場合、

 約数の個数は 18個または19個である自然数は、

 p,q,r を素数として、p17,p18,p8・q,p5・q2,p2・q2・r の形で表されます。

 nが奇数のときは n の約数の個数は 18個または19個で、p,q,r は奇素数ですので、

 最小のものは n=32・52・7=1575 、n<1200 を満たすものはありません。

 nが4の倍数のときは n/4 の約数の個数は 18個または19個ですので、

 小さい方から n/4=22・32・5,22・32・7,25・32,22・3・52 で、

 n/4=180,252,288,300 、n=720,1008,1152,1200 、

 n<1200 を満たすものは n=720,1008,1152 です。

 自然数 x が存在しない場合、

 nが4の倍数でない偶数のときと、n または n/4 の約数が1個の場合で n=1,4 、

 n<1200 で 該当するものは 1200/4+2=302 個です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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芯に赤を覗かせて黄色い花びらいい塩梅に開いて~

さっちゃんこ  
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こんにちは♪

ハマボウですね!!
青島のバイパスでも今綺麗に咲いていますよ
モミジの里でも漸く咲き始めました
黄色の花弁に赤の芯がのぞいていて綺麗ですね♪

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

ハマボウと言うんですね、毎年さっちゃんこさんに見せてもらうけどこれ新潟の浜で見たことない。
花オクラかな? なんて思ったりしましたよ。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
後半...同じことを考えていたんですが...
なぜか血迷ってたようです…^^;;;
了解できましたぁ Orz☆
n=4を忘れそうですけど…^^;

樹☆  
No title

こんばんは
今日も雨が降ってる樹地方です。
おくらの花かと思いました。
ハマボウ・・なんですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
夏の空に似合う黄色の花といったら、ハマボウとハイビスカスでしょうか、
ハイビスカスはいろんな色があり、やはりハマボウだと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
さっちゃんこさんの所でも同じような時期に咲くのですね。
海から少し離れていても綺麗に咲く花ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
西日本では時々見られる花ですが、新潟には分布していないのかも知れません。
私は、この花を見たら、本格的に夏だと感じます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
異なる奇数どうし、または、異なる偶数どうしの積で表されればいいのですが、
きちんと把握していないと、もれや重複に悩まされますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
此方は今日は晴れ、暑い1日でした。
ハマボウの黄色の花、私の好きな花のひとつです。