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[答99] 自然数になる tan の値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答99] 自然数になる tan の値


 AB=42, BC=70 の長方形ABCD の辺CD,DA上に、CP=DQ=x となるように点 P,Q をとります。

 x, tan∠BPQ がともに自然数になるときの、tan∠BPQ の値は?



[解答]

 tan∠BPQ=-tan(∠BPC+∠QPD)=-(tan∠BPC+tan∠QPD)/(1-tan∠BPC・tan∠QPD)

   =-(PD・PCtan∠BPC+PC・PDtan∠QPD)/(PC・PD-PCtan∠BPC・PDtan∠QPD)

   =-(PD・BC+PC・QD)/(PC・PD-BC・QD)=-{70(42-x)+x2}/{x(42-x)-70x}

   =(x2-70x+2940)/(x2+28x)

   =1+98(30-x)/{x(x+28)}=1+(98/x){(30-x)/(x+28)}=1+(98/x){-1+58/(x+28)}

 x・tan∠BPQ=x-98+22・72・29/(x+28)

 ここで、xは自然数で、

 0<x<42 だから 28<x+28<70、x+28 は 22・72・29 の約数、

 x+28=29, 49, 58 、x=1, 21, 30 、

   x=1 のとき tan∠BPQ=1-98+22・72・29/29=99

   x=21 のとき 21tan∠BPQ=21-98+22・72・29/49=39

   x=30 のとき 30tan∠BPQ=30-98+22・72・29/58=30

 であるから、tan∠BPQ=99, 1 になります。

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Comments 2

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

こんばんわ。
チューリップ・・・かわいい色ですね (o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
このチューリップは、緑化センター前の歩道で撮ったものです。
漸く春です。