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[答1009] 極限の位置の軌跡

ヤドカリ

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[答1009] 極限の位置の軌跡


 角θを決めておき、xy平面上で 原点から x軸の正の方向に 5 移動し、

 左にθ向きを変え 5/2 移動し、左にθ向きを変え 5/4 移動し、左にθ向きを変え 5/8 移動し、

 …… と、左にθ向きを変え その前の移動距離の 1/2 の移動を無限に繰り返すと、

 ある点に限りなく近づき、この点を極限の位置ということにします。

 例えば θ=π/2 のときは 極限の位置は(4,2)です。

 -π<θ≦π として、極限の位置の軌跡を求めればある閉曲線になりますが、

 この閉曲線に囲まれる部分の面積は?

 なお、「向きを変え」の表現は θ=0 のときも使えるものとします。


[解答1]

 複素平面上で考えれば、

 極限の位置は 初項が 5,公比が (cosθ+i・sinθ)/2 の無限等比級数の和であるので、

 5/{1-(cosθ+i・sinθ)/2}=10/(2-cosθ-i・sinθ)

  =10(2-cosθ+i・sinθ)/{(2-cosθ-i・sinθ)(2-cosθ+i・sinθ)}

  =10(2-cosθ+i・sinθ)/(4-4cosθ+cos2θ+sin2θ)

  =10(2-cosθ+i・sinθ)/(5-4cosθ) だから、

 x=10(2-cosθ)/(5-4cosθ),y=10sinθ/(5-4cosθ) で表されます。

 ここで、5x-4x・cosθ=20-10cosθ 、(4x-10)cosθ=5x-20 、cosθ=(5x-20)/(4x-10) 、

 y2=100sin2θ/(5-4cosθ)2=100(1-cos2θ)/(5-4cosθ)2

  =100{(4x-10)2-(4x-10)2cos2θ}/{5(4x-10)-4(4x-10)cosθ}2

  =100{(4x-10)2-(5x-20)2}/{5(4x-10)-4(5x-20)}2

  =100(9x-30)(-x+10)/302=(x-10/3)(-x+10)

  =-x2+40x/3-100/3

 x2-40x/3+y2=-100/3 、(x-20/3)2+y2=100/9 だから、

 中心が(20/3,0),半径が 10/3 の円となり、その面積は 100π/9 です。

 なお、x=10(2-cosθ)/(5-4cosθ)=5/2+(75/4)/(5-4cosθ) なので、

 θが -π から 0 まで 変化するとき xは 10/3 から 10 まで 単調に増加し、

 θが 0 から π まで 変化するとき xは 10 から 10/3 まで 単調に減少します。

 いずれも連続ですので、円周が欠けることはありません。


[解答2]

 O(0,0),A(5,0) ,Aの次にとる点をB ,極限の点をP とします。

 図形POAB…… と 図形PAB…… は相似で、その相似比は 2:1 、

 よって、△POA∽△PAB になり、∠POA=∠PAB 、∠OPA=θ になります。

 また、PO:PA=2:1 だから、Pはアポロニウスの円周上で、

 その円は OAを 2:1 に外分する点(10,0)と 2:1 に内分する点(10/3,0)が直径の両端です。

 更に、(10,0)から(10/3,0)まで

 第1象限で円周上をPが動けば ∠OPA=θ は 0 から π まで連続的に増加し、

 第4象限で円周上をPが動けば ∠OPA=θ は 0 から -π まで連続的に減少するので、

 Pの軌跡はこの円周全部になります。

 よって、直径が 10-10/3=20/3 の円の面積 100π/9 が求める答です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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―古代、檜扇は悪霊退散に用いられたことから、怨霊の怒りを鎮めるために始められた祇園祭には特に“祭花”として檜扇が欠かせないものとされてきました。―とありましたが・・・
こちらではヒオウギズイセンは良く見かけるのですが(庭にもあります)ヒオウギはほとんど見かけないです~

樹☆  
No title

おはようございます。
随分昔のことですが、お花を習いたての頃
頂いたヒオウギ、上手に生けられなかった思い出の花です。

夏に鮮やかですね。

uch*n*an  
No title

私は[解答1]でしたが,[解答2]も面白いですね。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは無無比扇が早くも咲きだしているのですネ
此方ではまだ見ていません
この花は都井岬にも自生しているのですが中々見に行くことが出来ません

岬馬とヒオウギ 何時か撮って見たいですネ

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

この花も花後の黒い実も好きですよ。
我が家もやっと蕾が上がってきました・
待ち遠しいなぁ~

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
AがOなら…Pをθ回転して行くだけだから…円
で...それを…x軸方向に移動させて行くだけでいいはずというアバウトなことで…[解答2]のアポロニウスの円で納得です♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヒオウギは悪霊の怒りを鎮める花ですか。知りませんでした。
ヒオウギスイセンほどではありませんが、たまに見かけます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
樹ちゃんはお花を習っていたのですか。
習いたての頃は何でも上手くできません。
最初から上手くできたら、先生の収入がなくなりますから。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントをありがとうございます。
[解答1]は計算だけですので、[解答2]が想定解でした。
無限なので、相似という言葉を使ってよいかどうかは疑問ですが。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒオウギを何か所かで見かけました。
都井岬の風景に中にヒオウギが咲くと素晴らしいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花よりあとの真っ黒な実の方が目立ちますね。
「ぬばたま」という枕詞はこの実のことだそうですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
Pをθ回転したものにならないことは、
x=10(2-cosθ)/(5-4cosθ),y=10sinθ/(5-4cosθ)
を見れば分かります。