[答1010] 正方形の総数
[答1010] 正方形の総数
図は正方形を階段状に8段並べたもので、大小合わせて正方形の総数は 70個です。
同じように、正方形を階段状に 48段並べると、正方形の総数は?
[解答1]
最小の正方形の1辺を 1 とします。
1辺が 1 の正方形は 1+2+3+……+48=48・49/2=1176 個、
1辺が 2 の正方形は 1+2+3+……+46=46・47/2=1081 個、
1辺が 3 の正方形は 1+2+3+……+44=44・45/2=990 個、
………………
1辺が k の正方形は 1+2+3+……+(50-2k)=(50-2k)(51-2k)/2=2k2-101k+1275 個、
………………
1辺が 24 の正方形は 1+2=3 個なので、
k=1,2,3,……,24 として 2k2-101k+1275 を加えると、
2・24・25・49/6-101・24・25/2+1275・24=9800-30300+30600=10100 個です。
[解答2]
上左図のように、各マスを右上隅とする正方形の個数を書き込めば、
左から1列目と下から1段目は1であり、
1と書かれたマス以外で 左から2列目と下から2段目は2であり、
一般に k-1 以下の数を書かれたマス以外で 左からk列目と下からk段目はkです。
よって、n段の場合、
1 が 2n-1 個 ,2 が 2n-5 個 ,……,k が 2n+3-4k 個 ,…… となり、
k(2n+3-4k) を k=1,2,……,[(2n+3)/4] として加えることになります。
[(2n+3)/4]=N とすれば、
(2n+3)N(N+1)/2-4N(N+1)(2N+1)/6=N(N+1)(6n-8N+5)/6 です。
また、(2n+3)/4 の小数部分は 1/4 または 3/4 なので、
N=[(2n+3)/4]=[(2n+3)/4-1/4]=[(n+1)/2] になります。
結局、N(N+1)(6n-8N+5)/6 個、ただし N=[(n+1)/2] です。
n=8 のときは N=[(8+1)/2]=4 、4・5・(6・8-8・4+5)/6=70 個になり、
本問では n=48 なので、N=[(48+1)/2]=24 、24・25・(6・48-8・24+5)/6=10100 個です。
なお、上右図は 各マスを左下隅とする正方形の個数を書き込んたもので、
それぞれに書かれる数の個数は 上左図と同じです。
[解答3]
下左図のように、n段の場合、1 から n+3 の番号をつけた点のうちの
4個の点の番号を小さい方から順に a,b,c,d とします。
点a,点bから縦線を,点c,点dから横線を描いて正方形ができるのは b-a=d-c のときで、
番号のうち、a,b,d を選ぶと、c=d-b+a として c は決まります。
b>c の場合は b<c の場合と同数、
b=c の場合は a,d が奇数どうしか偶数どうしで b=(a+d)/2 であり、
nが偶数のとき e=1,nが奇数のとき e=0 すれば
1 から n+3 に 偶数が (n+3-e)/2 個,奇数が (n+3+e)/2 個あるので、
n+3C2-(n+3-e)(n+3+e)/4 通り、
a,b,d を選び、b<c となる場合の数は、
{ n+3C3-n+3C2+(n+3-e)(n+3+e)/4}/2
={(n+3)(n+2)(n+1)/6-(n+3)(n+2)/2+(n+3-e)(n+3+e)/4}/2
={2(n+3)(n+2)(n+1)-6(n+3)(n+2)+3(n+3-e)(n+3+e)}/24
={(n+1)(n+3)(2n+1)-3e2}/24=[(n+1)(n+3)(2n+1)/24] 通りですので、
正方形の総数も [(n+1)(n+3)(2n+1)/24] 個です。
n=8 のときは [9・11・17/24]=70 個になり、
本問では n=48 なので、[49・51・97/24]=10100 個です。
[解答4]
下右図のように、n段の場合、各列の一番上の正方形に 1 から n の番号をつけ、
その中から重複を許して4個を選び、番号を小さい方から順に a,b,c,d とします。
a列からb列とc行からd行を塗るとその重なりが正方形になるのは b-a=d-c のときで、
番号のうち、a,b,d を選ぶと、c=d-b+a として c は決まります。
b>c の場合は b<c の場合と同数、
b=c の場合は a,d が奇数どうしか偶数どうしで b=(a+d)/2 であり、
nが偶数のとき e=0,nが奇数のとき e=1 すれば
1 から n に 偶数が (n-e)/2 個,奇数が (n+e)/2 個あるので、
nH2-(n-e)(n+e)/4 通り、
a,b,d を選び、b≦c となる場合の数は、
{ nH3+nH2-(n-e)(n+e)/4}/2
={n(n+1)(n+2)/6+n(n+1)/2-(n-e)(n+e)/4}/2
={2n(n+1)(n+2)+6n(n+1)-3(n-e)(n+e)}/24
={n(n+2)(2n+5)+3e2}/24=[n(n+2)(2n+5)/24+1/8] 通りですので、
正方形の総数も [n(n+2)(2n+5)/24+1/8] 個です。
n=8 のときは [8・10・21/24+1/8]=70 個になり、
本問では n=48 なので、[48・50・101/24+1/8]=10100 個です。
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