FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1010] 正方形の総数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1010] 正方形の総数


 図は正方形を階段状に8段並べたもので、大小合わせて正方形の総数は 70個です。

 同じように、正方形を階段状に 48段並べると、正方形の総数は?


[解答1]

 最小の正方形の1辺を 1 とします。

 1辺が 1 の正方形は 1+2+3+……+48=48・49/2=1176 個、

 1辺が 2 の正方形は 1+2+3+……+46=46・47/2=1081 個、

 1辺が 3 の正方形は 1+2+3+……+44=44・45/2=990 個、

  ………………

 1辺が k の正方形は 1+2+3+……+(50-2k)=(50-2k)(51-2k)/2=2k2-101k+1275 個、

  ………………

 1辺が 24 の正方形は 1+2=3 個なので、

 k=1,2,3,……,24 として 2k2-101k+1275 を加えると、

 2・24・25・49/6-101・24・25/2+1275・24=9800-30300+30600=10100 個です。


[解答2]

 上左図のように、各マスを右上隅とする正方形の個数を書き込めば、

 左から1列目と下から1段目は1であり、

 1と書かれたマス以外で 左から2列目と下から2段目は2であり、

 一般に k-1 以下の数を書かれたマス以外で 左からk列目と下からk段目はkです。

 よって、n段の場合、

 1 が 2n-1 個 ,2 が 2n-5 個 ,……,k が 2n+3-4k 個 ,…… となり、

 k(2n+3-4k) を k=1,2,……,[(2n+3)/4] として加えることになります。

 [(2n+3)/4]=N とすれば、

 (2n+3)N(N+1)/2-4N(N+1)(2N+1)/6=N(N+1)(6n-8N+5)/6 です。 

 また、(2n+3)/4 の小数部分は 1/4 または 3/4 なので、

 N=[(2n+3)/4]=[(2n+3)/4-1/4]=[(n+1)/2] になります。

 結局、N(N+1)(6n-8N+5)/6 個、ただし N=[(n+1)/2] です。

 n=8 のときは N=[(8+1)/2]=4 、4・5・(6・8-8・4+5)/6=70 個になり、

 本問では n=48 なので、N=[(48+1)/2]=24 、24・25・(6・48-8・24+5)/6=10100 個です。

 なお、上右図は 各マスを左下隅とする正方形の個数を書き込んたもので、

 それぞれに書かれる数の個数は 上左図と同じです。


[解答3]

 下左図のように、n段の場合、1 から n+3 の番号をつけた点のうちの

 4個の点の番号を小さい方から順に a,b,c,d とします。

 点a,点bから縦線を,点c,点dから横線を描いて正方形ができるのは b-a=d-c のときで、

 番号のうち、a,b,d を選ぶと、c=d-b+a として c は決まります。

 b>c の場合は b<c の場合と同数、

 b=c の場合は a,d が奇数どうしか偶数どうしで b=(a+d)/2 であり、

  nが偶数のとき e=1,nが奇数のとき e=0 すれば

  1 から n+3 に 偶数が (n+3-e)/2 個,奇数が (n+3+e)/2 個あるので、

  n+32-(n+3-e)(n+3+e)/4 通り、

 a,b,d を選び、b<c となる場合の数は、

  { n+33n+32+(n+3-e)(n+3+e)/4}/2

  ={(n+3)(n+2)(n+1)/6-(n+3)(n+2)/2+(n+3-e)(n+3+e)/4}/2

  ={2(n+3)(n+2)(n+1)-6(n+3)(n+2)+3(n+3-e)(n+3+e)}/24

  ={(n+1)(n+3)(2n+1)-3e2}/24=[(n+1)(n+3)(2n+1)/24] 通りですので、

 正方形の総数も [(n+1)(n+3)(2n+1)/24] 個です。

 n=8 のときは [9・11・17/24]=70 個になり、

 本問では n=48 なので、[49・51・97/24]=10100 個です。


[解答4]

 下右図のように、n段の場合、各列の一番上の正方形に 1 から n の番号をつけ、

 その中から重複を許して4個を選び、番号を小さい方から順に a,b,c,d とします。

 a列からb列とc行からd行を塗るとその重なりが正方形になるのは b-a=d-c のときで、

 番号のうち、a,b,d を選ぶと、c=d-b+a として c は決まります。

 b>c の場合は b<c の場合と同数、

 b=c の場合は a,d が奇数どうしか偶数どうしで b=(a+d)/2 であり、

  nが偶数のとき e=0,nが奇数のとき e=1 すれば

  1 から n に 偶数が (n-e)/2 個,奇数が (n+e)/2 個あるので、

  n2-(n-e)(n+e)/4 通り、

 a,b,d を選び、b≦c となる場合の数は、

  { n3n2-(n-e)(n+e)/4}/2

  ={n(n+1)(n+2)/6+n(n+1)/2-(n-e)(n+e)/4}/2

  ={2n(n+1)(n+2)+6n(n+1)-3(n-e)(n+e)}/24

  ={n(n+2)(2n+5)+3e2}/24=[n(n+2)(2n+5)/24+1/8] 通りですので、

 正方形の総数も [n(n+2)(2n+5)/24+1/8] 個です。

 n=8 のときは [8・10・21/24+1/8]=70 個になり、

 本問では n=48 なので、[48・50・101/24+1/8]=10100 個です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

モミジアオイ花びらの赤がきれいですネ
こちらは夏と思えない曇天と雨・・・
真夏日もいやですが梅雨明けは待ち遠しい~

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
わたしは数えるのが苦手なので…
同じフォルムを2個くっつけて、ジグザグを含む正方形を引いて…
と考えましたが...けっきょく数えてましたわ…^^;

2*g(48)=Σ[1~48]n(n+1)-Σ[1~23]2n(n+1)-Σ[1~24]n
2*g(8)=8*9*17/6+8*9/2-2*(3*4*7/3+3*4+2*5)=140

やどかりさんの式と同じになるんだろうなぁ ^^;v Orz~

いよいよ梅雨明けのよう!!
玄関で蝉が水を得た魚のように歓びの歌を奏でてます♪

アキチャン  
No title

こんにちわ。
青空に、真っ赤な色が映えてきれいですね(o^-^o)
今日も、いいお天気です。そろそろ梅雨明けでしょうか。。

ニリンソウ  
No title

そちらは梅雨明けしたのですね。
真っ赤なもみじアオイが夏の空に合いますね。
この赤は特別に好きな色です。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
真っ赤な花が青い空に強烈ですネ
モミジアオイは此方ではまだ咲いているのを見ていません

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
最近は、いつ雨が降ってもおかしくない天気でしたが、
青空のときは、赤い花が綺麗に見えます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
数えるのは厄介ですが、できれば一般化した式も求めてほしいものです。
ところで、今日、梅雨明けの発表がありました。夏本番ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、今日、梅雨明けの発表がありました。
このような青空がよく見られると思いますが、
年々暑さが身にしみるようになってきました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰る通り、今日、梅雨明けの発表がありました。
私もモミジアオイの赤は好きです。不思議と医らが飛ばないです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
其方は何でも開花が早いと思っていましたが、
モミジアオイはまだなのですか。
青空をバックに撮れる日を待っていました。