[答1010] 正方形の総数

[答1010] 正方形の総数


　図は正方形を階段状に８段並べたもので、大小合わせて正方形の総数は 70個です。

　同じように、正方形を階段状に 48段並べると、正方形の総数は？


[解答1]

　最小の正方形の１辺を 1 とします。

　１辺が 1 の正方形は 1＋2＋3＋……＋48＝48･49/2＝1176 個、

　１辺が 2 の正方形は 1＋2＋3＋……＋46＝46･47/2＝1081 個、

　１辺が 3 の正方形は 1＋2＋3＋……＋44＝44･45/2＝990 個、

　　………………

　１辺が k の正方形は 1＋2＋3＋……＋(50－2k)＝(50－2k)(51－2k)/2＝2k²－101k＋1275 個、

　　………………

　１辺が 24 の正方形は 1＋2＝3 個なので、

　k＝1，2，3，……，24 として 2k²－101k＋1275 を加えると、

　2･24･25･49/6－101･24･25/2＋1275･24＝9800－30300＋30600＝10100 個です。


[解答2]

　上左図のように、各マスを右上隅とする正方形の個数を書き込めば、

　左から１列目と下から１段目は１であり、

　１と書かれたマス以外で 左から２列目と下から２段目は２であり、

　一般に k－1 以下の数を書かれたマス以外で 左からｋ列目と下からｋ段目はｋです。

　よって、ｎ段の場合、

　1 が 2n－1 個 ，2 が 2n－5 個 ，……，k が 2n＋3－4k 個 ，…… となり、

　k(2n＋3－4k) を k＝1，2，……，[(2n＋3)/4] として加えることになります。

　[(2n＋3)/4]＝N とすれば、

　(2n＋3)N(N＋1)/2－4N(N＋1)(2N＋1)/6＝N(N＋1)(6n－8N＋5)/6 です。　

　また、(2n＋3)/4 の小数部分は 1/4 または 3/4 なので、

　N＝[(2n＋3)/4]＝[(2n＋3)/4－1/4]＝[(n＋1)/2] になります。

　結局、N(N＋1)(6n－8N＋5)/6 個、ただし N＝[(n＋1)/2] です。

　n＝8 のときは N＝[(8＋1)/2]＝4 、4･5･(6･8－8･4＋5)/6＝70 個になり、

　本問では n＝48 なので、N＝[(48＋1)/2]＝24 、24･25･(6･48－8･24＋5)/6＝10100 個です。

　なお、上右図は 各マスを左下隅とする正方形の個数を書き込んたもので、

　それぞれに書かれる数の個数は 上左図と同じです。


[解答3]

　下左図のように、ｎ段の場合、1 から n＋3 の番号をつけた点のうちの

　４個の点の番号を小さい方から順に a，b，c，d とします。

　点a，点bから縦線を，点c，点dから横線を描いて正方形ができるのは b－a＝d－c のときで、

　番号のうち、a，b，d を選ぶと、c＝d－b＋a として c は決まります。

　b＞c の場合は b＜c の場合と同数、

　b＝c の場合は a，d が奇数どうしか偶数どうしで b＝(a＋d)/2 であり、

　 ｎが偶数のとき e＝1，ｎが奇数のとき e＝0 すれば

　 1 から n＋3 に 偶数が (n＋3－e)/2 個，奇数が (n＋3＋e)/2 個あるので、

　 _n+3Ｃ₂－(n＋3－e)(n＋3＋e)/4 通り、

　a，b，d を選び、b＜c となる場合の数は、

　 ｛ _n+3Ｃ₃－_n+3Ｃ₂＋(n＋3－e)(n＋3＋e)/4｝/2

　 ＝｛(n＋3)(n＋2)(n＋1)/6－(n＋3)(n＋2)/2＋(n＋3－e)(n＋3＋e)/4｝/2

　 ＝｛2(n＋3)(n＋2)(n＋1)－6(n＋3)(n＋2)＋3(n＋3－e)(n＋3＋e)｝/24

　 ＝｛(n＋1)(n＋3)(2n＋1)－3e²｝/24＝[(n＋1)(n＋3)(2n＋1)/24] 通りですので、

　正方形の総数も [(n＋1)(n＋3)(2n＋1)/24] 個です。

　n＝8 のときは [9･11･17/24]＝70 個になり、

　本問では n＝48 なので、[49･51･97/24]＝10100 個です。


[解答4]

　下右図のように、ｎ段の場合、各列の一番上の正方形に 1 から n の番号をつけ、

　その中から重複を許して４個を選び、番号を小さい方から順に a，b，c，d とします。

　ａ列からｂ列とｃ行からｄ行を塗るとその重なりが正方形になるのは b－a＝d－c のときで、

　番号のうち、a，b，d を選ぶと、c＝d－b＋a として c は決まります。

　b＞c の場合は b＜c の場合と同数、

　b＝c の場合は a，d が奇数どうしか偶数どうしで b＝(a＋d)/2 であり、

　 ｎが偶数のとき e＝0，ｎが奇数のとき e＝1 すれば

　 1 から n に 偶数が (n－e)/2 個，奇数が (n＋e)/2 個あるので、

　 _nＨ₂－(n－e)(n＋e)/4 通り、

　a，b，d を選び、b≦c となる場合の数は、

　 ｛ _nＨ₃＋_nＨ₂－(n－e)(n＋e)/4｝/2

　 ＝｛n(n＋1)(n＋2)/6＋n(n＋1)/2－(n－e)(n＋e)/4｝/2

　 ＝｛2n(n＋1)(n＋2)＋6n(n＋1)－3(n－e)(n＋e)｝/24

　 ＝｛n(n＋2)(2n＋5)＋3e²｝/24＝[n(n＋2)(2n＋5)/24＋1/8] 通りですので、

　正方形の総数も [n(n＋2)(2n＋5)/24＋1/8] 個です。

　n＝8 のときは [8･10･21/24＋1/8]＝70 個になり、

　本問では n＝48 なので、[48･50･101/24＋1/8]＝10100 個です。

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