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[答1011] 内角が135゚の八角形

ヤドカリ

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[答1011] 内角が135゚の八角形


 面積が 149+150√2 の八角形があって、内角がすべて 135゚ で、

 辺の長さがすべて有理数で、そのうち2辺の長さが 5,9 であるとき、

 長さが 5,9 以外の辺の長さは?


[解答]

 辺の長さを順(左回り)に a,b,c,d,e,f,g,h とします。

 長さが a,c,e,g の辺を延長して長方形を作れば、

 a+(h+b)/√2=e+(d+f)/√2 ,c+(b+d)/√2=g+(f+h)/√2 になり、

 a,b,c,d,e,f,g,h は有理数だから、

 a=e ,h+b=d+f ,c=g ,b+d=f+h 、a=e ,b=f ,c=g ,d=h 、

 よって、平行な辺の長さは等しいことがいえ、

 辺の長さは順に a,b,c,d,a,b,c,d になります。

 この八角形の面積を S とすれば、

 S={a+(h+b)/√2}{c+(b+d)/√2}-b2/4-d2/4-f2/4-h2/4

  ={a+(d+b)/√2}{c+(b+d)/√2}-b2/4-d2/4-b2/4-d2/4

  =ac+(a+c)(b+d)/√2+(b+d)2/2-b2/2-d2/2

  =ac+bd+(a+c)(b+d)/√2 です。

 本問で、長さが 5,9 以外の辺の長さを x,y とします。

 辺の長さが順に 5,x,9,y,5,x,9,y の場合、

 5・9+xy+(5+9)(x+y)/√2=149+150√2 、45+xy=149,14(x+y)=300 、

 xy=104,x+y=150/7 、x,y は t2-(150/7)t+104=0 の解で、

 7t2-150t+7・104=0 、(7t-52)(t-14)=0 、t=52/7,14 です。

 ( x=52/7,y=14 の場合と x=14,y=52/7 の場合は、右回りと左回りの違いだけです。 )

 辺の長さが順に 5,9,x,y,5,9,x,y の場合、

 5x+9y+(5+x)(9+y)/√2=149+150√2 、5x+9y=149,(5+x)(9+y)=300 、

 5x=149-9y を (25+5x)(9+y)=1500 に代入して、(25+149-9y)(9+y)=1500 、

 (58-3y)(9+y)=500 、3y2-31y-22=0 、(y-11)(3y+2)=0 、

 y>0 だから y=11 、5x=149-9・11=50 、x=10 です。

 まとめると、長さが 5,9 以外の辺の長さは 52/7,14 または 10,11 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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ホタルブクロと思ったけど、・・・ちょっと違う見たい

樹☆  
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おはようございます
わたしも、そう思ったけど
違うようです。蝉の大合唱の朝です。

ゆうこ つれづれ日記  
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私もホタルブクロかと思いました。
ちょっとお花が違いますね。

今日も曇天でお部屋の窓を開けて
空気を入れ替えをしていますが体が冷えてきました。

ニリンソウ  
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ジャコウソウでしょうか!
もうさきましたか林の中でダイモンジソウが咲く頃
見る花です。

ナイス

さっちゃんこ  
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こんばんは
ゴマの花かなと思いましたがゴマの花ではないようですネ

ジャコウソウ 余り見たことの無い花です
ナイス☆彡

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
最初の長方形の4隅の直角二等辺三角形を切り取る!!
...ってことに気づけてなんとかなりましたぁ~ ^^☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真では分かりにくいですが、ホタルブクロよりだいぶ小さいです。
下にニリンソウさんが書かれているように、ジャコウソウです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
当方でも朝は蝉がうるさく鳴いています。
写真の花は、下にニリンソウさんが記されているように、ジャコウソウです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
北海道はこのところ寒いようですね。
こちらは暑くて、日陰を選んで歩いています。
ところで、写真の花はジャコウソウです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
流石によくご存じですね。仰る通り、ジャコウソウです。
花の文化園で撮りましたが、もう見頃は過ぎています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
私も花の文化園以外では見たことがない花です。
このピンクの花は緑の中で目立ちます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
135゚の所は直角二等辺三角形をくっつけると分かり易くなります。
面積にからむ問題では特にです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、タイプミスの指摘を有難うございます。
注意しているつもりでもミスが出ますので、
今後もよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、有難うございました。