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[答1012] 平方数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1012] 平方数の和


 整数 a,b に対して、a 以上 b 以下の全ての整数の平方の和を S(a,b) とします。

 例えば、S(76,97)=97・98・195/6-75・76・151/6=308945-143450=165495 です。

 S(a,b)≦10000 かつ S(a,b)≡32 (mod 35) を満たす S(a,b) の値は?


[解答]

 S(a,b)≡32 (mod 35) より、S(a,b)≡2 (mod 5) ,S(a,b)≡4 (mod 7) です。

 02≡0,12≡1,22≡4,32≡4,42≡1 (mod 5) より、a≡4,b≡1 (mod 5) です。

 02≡0,12≡1,22≡4,32≡2,42≡2,52≡4,62≡1 (mod 7) より、

 a≡b≡2 (mod 7) または a≡3,b≡4 (mod 7) または a≡b≡5 (mod 7) です。

 このうち、a≡b≡5 (mod 7) の場合は -b≡-a≡2 (mod 7) であり、

 S(-b,-a)=S(a,b) なので、省いても S(a,b) の値はすべて現れます。

 よって、a≡9,b≡16 (mod 35) または a≡24,b≡11 (mod 35) になります。

 a≡9,b≡16 (mod 35) の場合、

 まず、8個の平方数の和となるのは、

 S(-61,-54)=542・8>10000 ,

 S(-26,-19)=26・27・53/6-18・19・37/6=6201-2109=4092 ,

 S(9,16)=16・17・33/6-8・9・17/6=1496-204=1292 ,

 S(44,51)>442・8>10000 ですので、

 33個の平方数の和として 10000以下になる可能性があるのは S(-26,16) だけで、

 S(-26,16)=16・17・33/6+26・27・53/6=1496+6201=7697 です。

 a≡24,b≡11 (mod 35) の場合、

 最小の場合は、S(-11,11)=11・12・23/6+11・12・23/6=506・2=1012 、

 次に小さいのは、S(24,46)>242・23>10000 です。

 よって、10000以下の値は 1012,1292,4092,7697 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ボタンクサギのように思いますが・・・
マリのようにま~るく密集したかわいらしい花~

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
流れがわたしの力では追い切れましぇん…^^;
熟読玩味ぃ…☆
平方数の和[b]ー平方数の和[a-1]がb^2とa^2の剰余で考えられるのがよくわからず…?
友人の平方数のmod35での剰余の列の和が32で探すという方法は理解できたのですが…^^;…Orz...

ニリンソウ  
No title

ボタンクサギですね~
紫陽花のようで可愛いですね、暑い夏が来た証拠ですね。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは♪
手鞠のような真ん丸な花 見事ですね!!

ナイス♪

たけちゃん  
No title

Σ[k=a..b]k^2=(1/6)b(b+1)(2b+1)-(1/6)(a-1)a(2a-1)は,
0<a≦bの場合は分かりやすいですが,
そうでない場合はちょっと分かりにくいかもしれませんね.

T(n)=(1/6)n(n+1)(2n+1)とおくと,
T(n)-T(n-1)=n^2がすべての整数nに対して成り立ちます.
よって,
T(b)-T(a-1)
=(T(a)-T(a-1))+(T(a+1)-T(a))+…+(T(b-1)-T(b-2))+(T(b)-T(b-1))
=a^2+(a+1)^2+…+(b-1)^2+b^2
であり,これはa≦bを満たす任意の整数a,bに対して成り立ちます.

また,問題中にも例示されているこの式を元に解くなら,
n≡0,1,2,3,4(mod5)に対してT(n)≡0,1,0,4,0(mod5),
n≡0,1,2,3,4,5,6(mod7)に対してT(n)≡0,1,5,0,2,6,0(mod7)
であることを用いるのも有力だと思います.

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ボタンクサギです。
この花は密集して丸く咲くのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
a,bが負の数でも定義されています。
それを勘違いすると、全部の答が出てきません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰る通り、可愛い花ですが、
暑い夏を乗り切らないといけないことを暗示していますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
ボタンクサギは蕾があるとやや不揃い、
全部が咲いた状態が一番きれいだと思います。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
負の数も扱うときには有力な方法ですね。
問題文に例示した S(76,97)は、7697の答を暗示しただけで、
深い意味はありません。