[答1012] 平方数の和

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[答1012] 平方数の和


　整数 a，b に対して、a 以上 b 以下の全ての整数の平方の和を S(a，b) とします。

　例えば、S(76，97)＝97･98･195/6－75･76･151/6＝308945－143450＝165495 です。

　S(a，b)≦10000 かつ S(a，b)≡32 (mod 35) を満たす S(a，b) の値は？


[解答]

　S(a，b)≡32 (mod 35) より、S(a，b)≡2 (mod 5) ，S(a，b)≡4 (mod 7) です。

　0²≡0，1²≡1，2²≡4，3²≡4，4²≡1 (mod 5) より、a≡4，b≡1 (mod 5) です。

　0²≡0，1²≡1，2²≡4，3²≡2，4²≡2，5²≡4，6²≡1 (mod 7) より、

　a≡b≡2 (mod 7) または a≡3，b≡4 (mod 7) または a≡b≡5 (mod 7) です。

　このうち、a≡b≡5 (mod 7) の場合は －b≡－a≡2 (mod 7) であり、

　S(－b，－a)＝S(a，b) なので、省いても S(a，b) の値はすべて現れます。

　よって、a≡9，b≡16 (mod 35) または a≡24，b≡11 (mod 35) になります。

　a≡9，b≡16 (mod 35) の場合、

　まず、８個の平方数の和となるのは、

　S(－61，－54)＝54²･8＞10000 ，

　S(－26，－19)＝26･27･53/6－18･19･37/6＝6201－2109＝4092 ，

　S(9，16)＝16･17･33/6－8･9･17/6＝1496－204＝1292 ，

　S(44，51)＞44²･8＞10000 ですので、

　33個の平方数の和として 10000以下になる可能性があるのは S(－26，16) だけで、

　S(－26，16)＝16･17･33/6＋26･27･53/6＝1496＋6201＝7697 です。

　a≡24，b≡11 (mod 35) の場合、

　最小の場合は、S(－11，11)＝11･12･23/6＋11･12･23/6＝506･2＝1012 、

　次に小さいのは、S(24，46)＞24²･23＞10000 です。

　よって、10000以下の値は 1012，1292，4092，7697 です。

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