[答1012] 平方数の和
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[答1012] 平方数の和
整数 a,b に対して、a 以上 b 以下の全ての整数の平方の和を S(a,b) とします。
例えば、S(76,97)=97・98・195/6-75・76・151/6=308945-143450=165495 です。
S(a,b)≦10000 かつ S(a,b)≡32 (mod 35) を満たす S(a,b) の値は?
[解答]
S(a,b)≡32 (mod 35) より、S(a,b)≡2 (mod 5) ,S(a,b)≡4 (mod 7) です。
02≡0,12≡1,22≡4,32≡4,42≡1 (mod 5) より、a≡4,b≡1 (mod 5) です。
02≡0,12≡1,22≡4,32≡2,42≡2,52≡4,62≡1 (mod 7) より、
a≡b≡2 (mod 7) または a≡3,b≡4 (mod 7) または a≡b≡5 (mod 7) です。
このうち、a≡b≡5 (mod 7) の場合は -b≡-a≡2 (mod 7) であり、
S(-b,-a)=S(a,b) なので、省いても S(a,b) の値はすべて現れます。
よって、a≡9,b≡16 (mod 35) または a≡24,b≡11 (mod 35) になります。
a≡9,b≡16 (mod 35) の場合、
まず、8個の平方数の和となるのは、
S(-61,-54)=542・8>10000 ,
S(-26,-19)=26・27・53/6-18・19・37/6=6201-2109=4092 ,
S(9,16)=16・17・33/6-8・9・17/6=1496-204=1292 ,
S(44,51)>442・8>10000 ですので、
33個の平方数の和として 10000以下になる可能性があるのは S(-26,16) だけで、
S(-26,16)=16・17・33/6+26・27・53/6=1496+6201=7697 です。
a≡24,b≡11 (mod 35) の場合、
最小の場合は、S(-11,11)=11・12・23/6+11・12・23/6=506・2=1012 、
次に小さいのは、S(24,46)>242・23>10000 です。
よって、10000以下の値は 1012,1292,4092,7697 です。
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