[答1013] 最小が奇数の確率
[答1013] 最小が奇数の確率
ｎを３以上の自然数とします。
１からｎまでのカードが１枚ずつあって、この中から無作為に３枚を取り出すときの
３枚のカードの最小の数が奇数である確率が 既約分数 p/2020 であるとき、自然数の組 (n，p)＝？
[解答]
取り出す３枚のカードの最小の数を 2k－1 とし、2k－1 と これより大きい２枚を取り出す方法は、
n-2k+1Ｃ3＝(n－2k＋1)(n－2k)/2＝2k2－(2n＋1)k＋n(n＋1)/2 です。
これを n＝1，2，3，……，m として加えた和を S とすると、
S＝m(m＋1)(2m＋1)/3－(2n＋1)m(m＋1)/2＋n(n＋1)m/2
＝m｛2(m＋1)(2m＋1)－3(2n＋1)(m＋1)＋3n(n＋1)｝/6
＝2m｛2(2m＋2)(2m＋1)－3(2n＋1)(2m＋2)＋6n(n＋1)｝/24 になります。
ｎが奇数のとき、n－2k＋1 の最後の値は n－2m＋1＝2 なので、2m＝n－1 になり、
S＝2m｛2(2m＋2)(2m＋1)－3(2n＋1)(2m＋2)＋6n(n＋1)｝/24
＝(n－1)｛2(n＋1)n－3(2n＋1)(n＋1)＋6n(n＋1)｝/24
＝(n－1)(n＋1)｛2n－3(2n＋1)＋6n｝/24＝(n－1)(n＋1)(2n－3)/24 、
ｎが偶数のとき、n－2k＋1 の最後の値は n－2m＋1＝3 なので、2m＝n－2 になり、
S＝2m｛2(2m＋2)(2m＋1)－3(2n＋1)(2m＋2)＋6n(n＋1)｝/24
＝(n－2)｛2n(n－1)－3(2n＋1)n＋6n(n＋1)｝/24
＝(n－2)n｛2(n－1)－3(2n＋1)＋6(n＋1)｝/24＝(n－2)n(2n＋1)/24 、
確率は S/nＣ3＝24S/｛4n(n－1)(n－2)｝ ですので、
ｎが奇数のとき、(n－1)(n＋1)(2n－3)/｛4n(n－1)(n－2)｝＝(n＋1)(2n－3)/｛4n(n－2)｝ ですが、
n＋1 は偶数，n(n－2) は奇数なので、約分すると分母は４の倍数になりません。
従って、既約分数 p/2020 になることはありません。
ｎが偶数のとき、(n－2)n(2n＋1)/｛4n(n－1)(n－2)｝＝(2n＋1)/(4n－4) 、
ここで、GCD(2n＋1，4n－4)＝GCD(2n＋1，－6) で 2n＋1 は奇数なので、
(2n＋1)/(4n－4) は既約であるか、分子･分母を３で約して既約になります。
よって、2n＋1＝p，4n－4＝2020 または 2n＋1＝3p，4n－4＝6060 、
前者の場合は (n，p)＝(506，1013) 、後者の場合は (n，p)＝(1516，1011) です。
[参考] たけちゃんさんの考え方より
2k－1，2k の数のカードを１つの組 (ただしｎが奇数のときは n だけで１つの組) にすれば、
取り出す３枚が、同じ組の２枚のカードとそれより大きい１枚のカードである確率は、
ｎが奇数のときは ｛(n－2)＋(n－4)＋……＋1｝/nＣ3＝(n－1)2/(4･nＣ3)＝3(n－1)/｛2n(n－2)｝ 、
ｎが偶数のときは ｛(n－2)＋(n－4)＋……＋2｝/nＣ3＝n(n－2)/(4･nＣ3)＝3/｛2(n－1)｝、
これ以外の場合は、最小が奇数である場合の数と 最小が偶数である場合の数は等しいので、
最小が奇数である確率をｐとすれば、
ｎが奇数のときは p＋p－3(n－1)/｛2n(n－2)｝＝1 、p＝(n＋1)(2n－3)/｛4n(n－2)｝ 、
ｎが偶数のときは p＋p－3/｛2(n－1)｝＝1 、p＝(2n＋1)/｛4(n－1)｝ です。
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