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[答1013] 最小が奇数の確率

ヤドカリ

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[答1013] 最小が奇数の確率


 nを3以上の自然数とします。

 1からnまでのカードが1枚ずつあって、この中から無作為に3枚を取り出すときの

 3枚のカードの最小の数が奇数である確率が 既約分数 p/2020 であるとき、自然数の組 (n,p)=?


[解答]

 取り出す3枚のカードの最小の数を 2k-1 とし、2k-1 と これより大きい2枚を取り出す方法は、

 n-2k+13=(n-2k+1)(n-2k)/2=2k2-(2n+1)k+n(n+1)/2 です。

 これを n=1,2,3,……,m として加えた和を S とすると、

 S=m(m+1)(2m+1)/3-(2n+1)m(m+1)/2+n(n+1)m/2

  =m{2(m+1)(2m+1)-3(2n+1)(m+1)+3n(n+1)}/6

  =2m{2(2m+2)(2m+1)-3(2n+1)(2m+2)+6n(n+1)}/24 になります。

 nが奇数のとき、n-2k+1 の最後の値は n-2m+1=2 なので、2m=n-1 になり、

 S=2m{2(2m+2)(2m+1)-3(2n+1)(2m+2)+6n(n+1)}/24

  =(n-1){2(n+1)n-3(2n+1)(n+1)+6n(n+1)}/24

  =(n-1)(n+1){2n-3(2n+1)+6n}/24=(n-1)(n+1)(2n-3)/24 、

 nが偶数のとき、n-2k+1 の最後の値は n-2m+1=3 なので、2m=n-2 になり、

 S=2m{2(2m+2)(2m+1)-3(2n+1)(2m+2)+6n(n+1)}/24

  =(n-2){2n(n-1)-3(2n+1)n+6n(n+1)}/24

  =(n-2)n{2(n-1)-3(2n+1)+6(n+1)}/24=(n-2)n(2n+1)/24 、

 確率は S/n3=24S/{4n(n-1)(n-2)} ですので、

 nが奇数のとき、(n-1)(n+1)(2n-3)/{4n(n-1)(n-2)}=(n+1)(2n-3)/{4n(n-2)} ですが、

 n+1 は偶数,n(n-2) は奇数なので、約分すると分母は4の倍数になりません。

 従って、既約分数 p/2020 になることはありません。

 nが偶数のとき、(n-2)n(2n+1)/{4n(n-1)(n-2)}=(2n+1)/(4n-4) 、

 ここで、GCD(2n+1,4n-4)=GCD(2n+1,-6) で 2n+1 は奇数なので、

 (2n+1)/(4n-4) は既約であるか、分子・分母を3で約して既約になります。

 よって、2n+1=p,4n-4=2020 または 2n+1=3p,4n-4=6060 、

 前者の場合は (n,p)=(506,1013) 、後者の場合は (n,p)=(1516,1011) です。


[参考] たけちゃんさんの考え方より

 2k-1,2k の数のカードを1つの組 (ただしnが奇数のときは n だけで1つの組) にすれば、

 取り出す3枚が、同じ組の2枚のカードとそれより大きい1枚のカードである確率は、

 nが奇数のときは {(n-2)+(n-4)+……+1}/n3=(n-1)2/(4・n3)=3(n-1)/{2n(n-2)} 、

 nが偶数のときは {(n-2)+(n-4)+……+2}/n3=n(n-2)/(4・n3)=3/{2(n-1)}、

 これ以外の場合は、最小が奇数である場合の数と 最小が偶数である場合の数は等しいので、

 最小が奇数である確率をpとすれば、

 nが奇数のときは p+p-3(n-1)/{2n(n-2)}=1 、p=(n+1)(2n-3)/{4n(n-2)} 、

 nが偶数のときは p+p-3/{2(n-1)}=1 、p=(2n+1)/{4(n-1)} です。

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Comments 12

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
朝から暑いですね、夏だからこれでいいんだけど
ラジオ体操も始まって学校は夏休みです。
今日の花は見たことあるようで無いようで
解りません。
今日もいい一日を。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
小さな花のようですが余り見た記憶が有りません!!

真夏の暑さにもめげずに頑張って咲いているのですね

ナイス♪

ゆうこ つれづれ日記  
No title

おはようございます。
白いお花はなんと言うお花なのかな・・・
涼やかな感じでいいですね。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
仰るように、朝から暑く、出勤だけでもひと仕事です。
ところで、写真は金柑の花で、小さなものです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真は金柑の花ですが、蜜柑よりだいぶ遅いです。
花と同様、暑さにめげずに頑張らないといけませんね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
東北まで梅雨明けしたようですね。北海道の雨は如何ですか?
この白い花は金柑です。そちらにはあまり柑橘類はありませんね。

ひとりしずか  
No title

レモンの花に似ているように思いましたが
金柑の花なんですね・・・
肉厚な感じのする花弁ですネ

アキチャン  
No title

おはようございます。
コメントしたつもりでしたが、寝ぼけていたようです(>_<)
見たことあると思っていましたが、キンカンでしたか。ひょっとしたら撮っているかもしれません。きっと、実になってからのほうが印象深く、お花には印象が少なかったのかもしれません(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
柑橘類の花の区別は難しいですね。
金柑は実も小さいですが、花も小さく可愛いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
気候的にはそちらも金柑はよく見かけるでしょう。
ただ、花より実になってからが目立ちますね。

樹☆  
No title

こんばんは
金柑ってこんなに可愛い花を咲かせるのですね。
我が家にもあったはずなのに・・憶えてません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
金柑の花がいつの間にか咲いていました。
大きな実の金柑ならよかったのですが、
小さいので、去年は全部は食べませんでした。