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[答1014] 同じ位置の同じ数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1014] 同じ位置の同じ数


 図のように、縦3マス,横5マスの中に、1 から 15 を左上から横書きにする場合と、

 右上から縦書きにする場合、同じ位置に同じ数が書かれるのは、4,8,12 です。

 では、縦 27マス,横 25マスの中に、1 から 675 を書くとき、同じ位置に書かれる同じ数は?

 また、縦横ともに 100マス以内で、縦 27マス,横 25マスのときと同じ答えになるのは、

 縦何マス,横何マスのとき?


[解答]

 一般化して、縦mマス,横nマスとし、

 行に上から 0,1,2,……,m-1 ,列に右から 0,1,2,……,n-1 と番号をつけます。

 x列y行のマスに書かれる数は、

 横書きの場合は n-x+ny , 縦書きの場合は y+1+mx になるので、両者が等しいとき、

 n-x+ny=y+1+mx 、(n-1)(y+1)=(m+1)x になるので、

 GCD(m+1,n-1)=g とし、m+1=ga,n-1=gb とすれば、b(y+1)=ax 、

 a,b は互いに素なので、y+1=ak,x=bk (k は自然数) と書けます。

 マスに書かれる数は y+1+mx=ak+bmk=(ga+gbm)k/g=(m+1+mn-m)k/g=(mn+1)k/g 、

 1≦(mn+1)k/g<mn+1 だから、k=1,2,……,g-1 です。

 よって、(mn+1)/g の 1倍,2倍,……,(g-1)倍 が、縦書きと横書きで一致する数です。

  g は 縦マスの数+1 と 横マスの数-1 の 最大公約数ですので、

  縦書きの図で 1 の上のマスと mn の下のマスの中心を結ぶ線分を g等分する点が

  中心であるマスが該当します。

 m=3 ,n=5 のとき、g=GCD(4,4)=4 ,(5・3+1)/4=4 だから、4,8,12 です。

 本問は、m=27 ,n=25 のときで、

 g=GCD(28,24)=4 ,(27・25+1)/4=169 だから、169,338,507 (合計 1014) です。

 これと同じ答になるのは、GCD(m+1,n-1)=4 ,mn=27・25=33・52 だから、

 m≦100 ,n≦100 に注意して mn=9・75=15・45=25・27 、

 GCD(m+1,n-1)=4 だから、(m,n)=(75,9),(15,45),(27,25) です。

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Comments 10

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樹☆  
No title

おはようございます
7月は御無沙汰でした。
ノリウツギでしょうか・・カシワバアジサイと間違ったりしました。
白い花びらが清々しいです。

8月になりました。よろしくお願いします。

ひとりしずか  
No title

―樹液を和紙を漉く際の糊に利用したため、ノリウツギという名がついた。―
とありました。
装飾花でついアジサイと思ってしまいます~
白い大きな塊迫力あります!

こっこちゃん  
No title

カシワバ紫陽花ですよね

滅多に見れないので好きなんです ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これもわたしにゃ...難し ^^;
最初の点から次の点までの個数が169という式を作って(作ったつもりの式)、PCに計算させたのですが…ダメでした…Orz

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ノリウツギなのかな
ピラミット紫陽花のようにも見えますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントをありがとうございます。
はや、7月が終わってしまいましたね。
写真は、仰る通り、ノリウツギの花です。
アナベルと同じく真っ白なのがいいです。
ところで、こちらこそ8月もよろしくです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ノリウツギを調べられたのですね。
私もノリウツギのノリが糊であることを知って、
その名前に納得したものです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントをありがとうございます。
カシワバアジサイに似ていますが、ノリウツギでした。
カシワハアジサイはその名の通り、柏のような形の葉です。
他の紫陽花より早く咲き出して、こちらではよく見ますよ。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントをありがとうございます。
カシワバアジサイに似ていますが、ノリウツギでした。
カシワハアジサイはその名の通り、柏のような形の葉です。
他の紫陽花より早く咲き出して、こちらではよく見ますよ。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ピラミッド紫陽花はノリウツギの園芸種のようです。
写真の花が園芸種なら、ピラミッド紫陽花というべきですね。
似た花は分かりにくいですね。