[答1014] 同じ位置の同じ数

[答1014] 同じ位置の同じ数


　図のように、縦３マス，横５マスの中に、1 から 15 を左上から横書きにする場合と、

　右上から縦書きにする場合、同じ位置に同じ数が書かれるのは、4，8，12 です。

　では、縦 27マス，横 25マスの中に、1 から 675 を書くとき、同じ位置に書かれる同じ数は？

　また、縦横ともに 100マス以内で、縦 27マス，横 25マスのときと同じ答えになるのは、

　縦何マス，横何マスのとき？


[解答]

　一般化して、縦ｍマス，横ｎマスとし、

　行に上から 0，1，2，……，m－1 ，列に右から 0，1，2，……，n－1 と番号をつけます。

　ｘ列ｙ行のマスに書かれる数は、

　横書きの場合は n－x＋ny ， 縦書きの場合は y＋1＋mx になるので、両者が等しいとき、

　n－x＋ny＝y＋1＋mx 、(n－1)(y＋1)＝(m＋1)x になるので、

　GCD(m＋1，n－1)＝g とし、m＋1＝ga，n－1＝gb とすれば、b(y＋1)＝ax 、

　a，b は互いに素なので、y＋1＝ak，x＝bk (k は自然数) と書けます。

　マスに書かれる数は y＋1＋mx＝ak＋bmk＝(ga＋gbm)k/g＝(m＋1＋mn－m)k/g＝(mn＋1)k/g 、

　1≦(mn＋1)k/g＜mn＋1 だから、k＝1，2，……，g－1 です。

　よって、(mn＋1)/g の 1倍，2倍，……，(g－1)倍 が、縦書きと横書きで一致する数です。

　　g は 縦マスの数＋1 と 横マスの数－1 の 最大公約数ですので、

　　縦書きの図で 1 の上のマスと mn の下のマスの中心を結ぶ線分を g等分する点が

　　中心であるマスが該当します。

　m＝3 ，n＝5 のとき、g＝GCD(4，4)＝4 ，(5･3＋1)/4＝4 だから、4，8，12 です。

　本問は、m＝27 ，n＝25 のときで、

　g＝GCD(28，24)＝4 ，(27･25＋1)/4＝169 だから、169，338，507 (合計 1014) です。

　これと同じ答になるのは、GCD(m＋1，n－1)＝4 ，mn＝27･25＝3³･5² だから、

　m≦100 ，n≦100 に注意して mn＝9･75＝15･45＝25･27 、

　GCD(m＋1，n－1)＝4 だから、(m，n)＝(75，9)，(15，45)，(27，25) です。

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