[答1015] 八進法で逆順

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[答1015] 八進法で逆順


　八進法の 2156₍₈₎ は逆順にすると 6512₍₈₎ で、2156₍₈₎ の倍数です。

　このような、回文数でない八進法の４桁の数で、逆順が倍数になるものは？


[解答1]

　求める数を八進法で表したときの数字を上から A，B，C，D とすれば、

　k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A と書くことができます。

　ここで、A，B，C，D，k は 7 以下の負でない整数で、A≠0，D≠0，k≧2 とします。

　A＝1 のとき、kD≡1 (mod 8) なので、kD＝9，17，25，33，41，49 、

　(D，k)＝(3，3)，(5，5)，(7，7) が考えられます。

　A＝2 のとき、2k≦7，k≦3，kD≦21 で、kD≡2 (mod 8) なので、kD＝10，18 、

　(D，k)＝(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3) が考えられます。

　A＝3 のとき、3k≦7，k≦2，kD≦14 で、kD≡3 (mod 8) なので、kD＝11 、

　(D，k)に該当する数はありません。

　A≧4 のとき、k≧2 なので、Ak≦7 を満たしません。

　ここまでの考察で、

　(A，D，k)＝(1，3，3)，(1，5，5)，(1，7，7)，(2，2，5)，(2，5，2)，(2，3，6)，(2，6，3)

　ですが、kA≦D＜k(A＋1) だから、

　(A，D，k)＝(1，3，3)，(1，5，5)，(1，7，7)，(2，5，2)，(2，6，3) に絞られます。

　ここで、k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A より

　(8k－1)B－(8－k)C＝64(D－kA)－(kD－A)/8 と書くことができます。

　(A，D，k)＝(1，3，3) のとき、23B－5C＝－1 、(B，C)に該当する数はありません。

　(A，D，k)＝(1，5，5) のとき、39B－3C＝－3 、13B－C＝－1 、(B，C)＝(0，1) です。

　(A，D，k)＝(1，7，7) のとき、55B－C＝－6 、(B，C)＝(0，6) です。

　(A，D，k)＝(2，5，2) のとき、15B－6C＝63 、5B－2C＝21 、(B，C)＝(5，2)，(7，7) です。

　(A，D，k)＝(2，6，3) のとき、23B－5C＝－2 、(B，C)＝(1，5) です。

　まとめると、(A，B，C，D，k)＝(1，0，1，5，5)，(1，0，6，7，7)，(2，5，2，5，2)，(2，7，7，5，2)，(2，1，5，6，3) 、

　従って、1015₍₈₎ ，1067₍₈₎ ，2156₍₈₎ ，2525₍₈₎ ，2775₍₈₎ です。


[解答2]

　求める数を八進法で表したときの数字を上から A，B，C，D とすれば、

　k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A と書くことができます。

　ここで、A，B，C，D，k は 7 以下の負でない整数で、k≧2，1≦A＜D とします。

　まず、512A＋64B＋8C＋D≡512D＋64C＋8B＋A≡A＋B＋C＋D (mod 7) になり、

　k(A＋B＋C＋D)≡A＋B＋C＋D (mod 7) 、(k－1)(A＋B＋C＋D)≡0 (mod 7) 、

　k＝2，3，4，5，6，7 ですので、A＋B＋C＋D≡0 (mod 7) になります。

　ここで、kA≦7 だから、A≦3 、A＋B＋C＋D＝7，14，21 です。

　また、k(512A＋64B＋8C＋D)＋(512A＋64B＋8C＋D)＝(512D＋64C＋8B＋A)＋(512A＋64B＋8C＋D) 、

　(k＋1)(512A＋64B＋8C＋D)≡0 (mod 9) 、(k＋1)(－A＋B－C＋D)≡0 (mod 9) になり、

　k＝3，4，6，7 のとき、A＋C≡B＋D (mod 9) ですので、A＋C と B＋D の差が 0，9 、

　和が 7，14，21 であり、和＞差 で 和と差の偶奇は一致するので、

　和が 14，差が 0 の場合 と 和が 21，差が 9 の場合しか考えられませんが、

　和が 21，差が 9 の場合は、片方が 15 で、あり得ません。よって、A＋C＝B＋D＝7 です。

　k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A より 512kA＋64kB＋8kC＋kD＝512D＋64C＋8B＋A 、

　512kA＋64kB＋8k(7－A)＋k(7－B)＝512(7－B)＋64(7－A)＋8B＋A 、

　(504k＋63)A＋(63k＋504)B＝4032－63k 、(8k＋1)A＋(k＋8)B＝64－k 、

　k＝3 のとき、25A＋11B＝61 、(A，B)＝(2，1) 、(A，B，C，D，k)＝(2，1，5，6，3) です。

　k＝4 のとき、33A＋12B＝60 、これを満たす (A，B)は存在しません。

　k＝6 のとき、49A＋14B＝58 、これを満たす (A，B)は存在しません。

　k＝7 のとき、57A＋15B＝57 、(A，B)＝(1，0) 、(A，B，C，D，k)＝(1，0，6，7，7) です。

　k＝2，5 のとき、k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A より kD≡A (mod 8) 、

　k＝2 のとき、2D≡A (mod 8) ，A≦3 だから、A＝2 、2D≡2 (mod 8) ，A＜D だから、D＝5 、

　2(512･2＋64B＋8C＋5)＝512･5＋64C＋8B＋2 より 120B－48C＝504 、5B－2C＝21 、

　(B，C)＝(5，2)，(7，7) 、(A，B，C，D，k)＝(2，5，2，5，2)，(2，7，7，5，2) です。

　k＝5 のとき、5A≦7 だから、A＝1 、5D≡1 (mod 8) だから、D＝5 、

　5(512･1＋64B＋8C＋5)＝512･5＋64C＋8B＋1 より 312B－24C＝－24 、13B－C＝－1 、

　(B，C)＝(0，1) 、(A，B，C，D，k)＝(1，0，1，5，5) です。

　従って、2156₍₈₎ ，1067₍₈₎ ，2525₍₈₎ ，2775₍₈₎ ，1015₍₈₎ です。


[参考]

　707₍₈₎×1＝0707₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×1＝0777₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×1＝1067₍₈₎
　707₍₈₎×2＝1616₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×2＝1776₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×2＝2156₍₈₎
　707₍₈₎×3＝2525₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×3＝2775₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×3＝3245₍₈₎
　707₍₈₎×4＝3434₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×4＝3774₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×4＝4334₍₈₎
　707₍₈₎×5＝4343₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×5＝4773₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×5＝5423₍₈₎
　707₍₈₎×6＝5252₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×6＝5772₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×6＝6512₍₈₎
　707₍₈₎×7＝6161₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×7＝6771₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×7＝7601₍₈₎

　707₍₈₎＝1010₍₈₎－0101₍₈₎ だから、512の位と 8の位が 1ずつ増え、64の位と 1の位が 1ずつ減ります。

　777₍₈₎＝1000₍₈₎－0001₍₈₎ だから、512の位が 1ずつ増え、1の位が 1ずつ減ります。

　1067₍₈₎＝1100₍₈₎－0011₍₈₎ だから、512の位と 64の位が 1ずつ増え、8の位と 1の位が 1ずつ減ります。

　この中に、2525₍₈₎ ，2775₍₈₎ ，1067₍₈₎ ，2156₍₈₎ があり、その逆順が 倍数になることは明らかですが、

　きちんと 検討しないと、1015₍₈₎ は 出てきません。

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