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[答1015] 八進法で逆順

ヤドカリ

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[答1015] 八進法で逆順


 八進法の 2156(8) は逆順にすると 6512(8) で、2156(8) の倍数です。

 このような、回文数でない八進法の4桁の数で、逆順が倍数になるものは?


[解答1]

 求める数を八進法で表したときの数字を上から A,B,C,D とすれば、

 k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A と書くことができます。

 ここで、A,B,C,D,k は 7 以下の負でない整数で、A≠0,D≠0,k≧2 とします。

 A=1 のとき、kD≡1 (mod 8) なので、kD=9,17,25,33,41,49 、

 (D,k)=(3,3),(5,5),(7,7) が考えられます。

 A=2 のとき、2k≦7,k≦3,kD≦21 で、kD≡2 (mod 8) なので、kD=10,18 、

 (D,k)=(2,5),(5,2),(3,6),(6,3) が考えられます。

 A=3 のとき、3k≦7,k≦2,kD≦14 で、kD≡3 (mod 8) なので、kD=11 、

 (D,k)に該当する数はありません。

 A≧4 のとき、k≧2 なので、Ak≦7 を満たしません。

 ここまでの考察で、

 (A,D,k)=(1,3,3),(1,5,5),(1,7,7),(2,2,5),(2,5,2),(2,3,6),(2,6,3)

 ですが、kA≦D<k(A+1) だから、

 (A,D,k)=(1,3,3),(1,5,5),(1,7,7),(2,5,2),(2,6,3) に絞られます。

 ここで、k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A より

 (8k-1)B-(8-k)C=64(D-kA)-(kD-A)/8 と書くことができます。

 (A,D,k)=(1,3,3) のとき、23B-5C=-1 、(B,C)に該当する数はありません。

 (A,D,k)=(1,5,5) のとき、39B-3C=-3 、13B-C=-1 、(B,C)=(0,1) です。

 (A,D,k)=(1,7,7) のとき、55B-C=-6 、(B,C)=(0,6) です。

 (A,D,k)=(2,5,2) のとき、15B-6C=63 、5B-2C=21 、(B,C)=(5,2),(7,7) です。

 (A,D,k)=(2,6,3) のとき、23B-5C=-2 、(B,C)=(1,5) です。

 まとめると、(A,B,C,D,k)=(1,0,1,5,5),(1,0,6,7,7),(2,5,2,5,2),(2,7,7,5,2),(2,1,5,6,3) 、

 従って、1015(8) ,1067(8) ,2156(8) ,2525(8) ,2775(8) です。


[解答2]

 求める数を八進法で表したときの数字を上から A,B,C,D とすれば、

 k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A と書くことができます。

 ここで、A,B,C,D,k は 7 以下の負でない整数で、k≧2,1≦A<D とします。

 まず、512A+64B+8C+D≡512D+64C+8B+A≡A+B+C+D (mod 7) になり、

 k(A+B+C+D)≡A+B+C+D (mod 7) 、(k-1)(A+B+C+D)≡0 (mod 7) 、

 k=2,3,4,5,6,7 ですので、A+B+C+D≡0 (mod 7) になります。

 ここで、kA≦7 だから、A≦3 、A+B+C+D=7,14,21 です。

 また、k(512A+64B+8C+D)+(512A+64B+8C+D)=(512D+64C+8B+A)+(512A+64B+8C+D) 、

 (k+1)(512A+64B+8C+D)≡0 (mod 9) 、(k+1)(-A+B-C+D)≡0 (mod 9) になり、

 k=3,4,6,7 のとき、A+C≡B+D (mod 9) ですので、A+C と B+D の差が 0,9 、

 和が 7,14,21 であり、和>差 で 和と差の偶奇は一致するので、

 和が 14,差が 0 の場合 と 和が 21,差が 9 の場合しか考えられませんが、

 和が 21,差が 9 の場合は、片方が 15 で、あり得ません。よって、A+C=B+D=7 です。

 k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A より 512kA+64kB+8kC+kD=512D+64C+8B+A 、

 512kA+64kB+8k(7-A)+k(7-B)=512(7-B)+64(7-A)+8B+A 、

 (504k+63)A+(63k+504)B=4032-63k 、(8k+1)A+(k+8)B=64-k 、

 k=3 のとき、25A+11B=61 、(A,B)=(2,1) 、(A,B,C,D,k)=(2,1,5,6,3) です。

 k=4 のとき、33A+12B=60 、これを満たす (A,B)は存在しません。

 k=6 のとき、49A+14B=58 、これを満たす (A,B)は存在しません。

 k=7 のとき、57A+15B=57 、(A,B)=(1,0) 、(A,B,C,D,k)=(1,0,6,7,7) です。

 k=2,5 のとき、k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A より kD≡A (mod 8) 、

 k=2 のとき、2D≡A (mod 8) ,A≦3 だから、A=2 、2D≡2 (mod 8) ,A<D だから、D=5 、

 2(512・2+64B+8C+5)=512・5+64C+8B+2 より 120B-48C=504 、5B-2C=21 、

 (B,C)=(5,2),(7,7) 、(A,B,C,D,k)=(2,5,2,5,2),(2,7,7,5,2) です。

 k=5 のとき、5A≦7 だから、A=1 、5D≡1 (mod 8) だから、D=5 、

 5(512・1+64B+8C+5)=512・5+64C+8B+1 より 312B-24C=-24 、13B-C=-1 、

 (B,C)=(0,1) 、(A,B,C,D,k)=(1,0,1,5,5) です。

 従って、2156(8) ,1067(8) ,2525(8) ,2775(8) ,1015(8) です。


[参考]

 707(8)×1=0707(8)     777(8)×1=0777(8)     1067(8)×1=1067(8)
 707(8)×2=1616(8)     777(8)×2=1776(8)     1067(8)×2=2156(8)
 707(8)×3=2525(8)     777(8)×3=2775(8)     1067(8)×3=3245(8)
 707(8)×4=3434(8)     777(8)×4=3774(8)     1067(8)×4=4334(8)
 707(8)×5=4343(8)     777(8)×5=4773(8)     1067(8)×5=5423(8)
 707(8)×6=5252(8)     777(8)×6=5772(8)     1067(8)×6=6512(8)
 707(8)×7=6161(8)     777(8)×7=6771(8)     1067(8)×7=7601(8)

 707(8)=1010(8)-0101(8) だから、512の位と 8の位が 1ずつ増え、64の位と 1の位が 1ずつ減ります。

 777(8)=1000(8)-0001(8) だから、512の位が 1ずつ増え、1の位が 1ずつ減ります。

 1067(8)=1100(8)-0011(8) だから、512の位と 64の位が 1ずつ増え、8の位と 1の位が 1ずつ減ります。

 この中に、2525(8) ,2775(8) ,1067(8) ,2156(8) があり、その逆順が 倍数になることは明らかですが、

 きちんと 検討しないと、1015(8) は 出てきません。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

花びらのまわりの糸くずみたいな~魅惑です!

樹☆  
No title

おはようございます
夜に咲いて朝には散ってしまうカラスウリ
とても美しいと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
カラスウリの花は怪しげな美しさがありますね。
何とも不思議な花です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
夕方に暗くなってから咲くので、なかなかうまく撮れません。
朝にも残っているのがありますが、
花弁が夕方ほど綺麗ではありません。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
カラスウリの花 滅多に見ることが出来ない分とても神秘的に思えますね
レースを編んだような花びらが奇麗ですね
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
結構めんどうなのですねぇ ^^;
わたしは…k=2,3,4,5,6,7
で、満たすものを地道に探しましたわ ^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
カラスウリの花は此方では見かけませんが、小林市には沢山咲いていました。
怪しいような美しさだと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
満たすものを見つけるのは、私も面倒だと思います。
ただ、[参考]のように、いくつかは簡単に見つかります。

ニリンソウ  
No title

この辺では見れないカラスウリの花、夜とったのでしょうか。 キカラスウリと違って怪しげな魅力ありますね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
九州で滞在していた時に撮りました。
フラッシュをたくのはあまり好きではありませんので、夕方、撮りました。