[答1015] 八進法で逆順
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[答1015] 八進法で逆順
八進法の 2156(8) は逆順にすると 6512(8) で、2156(8) の倍数です。
このような、回文数でない八進法の4桁の数で、逆順が倍数になるものは?
[解答1]
求める数を八進法で表したときの数字を上から A,B,C,D とすれば、
k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A と書くことができます。
ここで、A,B,C,D,k は 7 以下の負でない整数で、A≠0,D≠0,k≧2 とします。
A=1 のとき、kD≡1 (mod 8) なので、kD=9,17,25,33,41,49 、
(D,k)=(3,3),(5,5),(7,7) が考えられます。
A=2 のとき、2k≦7,k≦3,kD≦21 で、kD≡2 (mod 8) なので、kD=10,18 、
(D,k)=(2,5),(5,2),(3,6),(6,3) が考えられます。
A=3 のとき、3k≦7,k≦2,kD≦14 で、kD≡3 (mod 8) なので、kD=11 、
(D,k)に該当する数はありません。
A≧4 のとき、k≧2 なので、Ak≦7 を満たしません。
ここまでの考察で、
(A,D,k)=(1,3,3),(1,5,5),(1,7,7),(2,2,5),(2,5,2),(2,3,6),(2,6,3)
ですが、kA≦D<k(A+1) だから、
(A,D,k)=(1,3,3),(1,5,5),(1,7,7),(2,5,2),(2,6,3) に絞られます。
ここで、k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A より
(8k-1)B-(8-k)C=64(D-kA)-(kD-A)/8 と書くことができます。
(A,D,k)=(1,3,3) のとき、23B-5C=-1 、(B,C)に該当する数はありません。
(A,D,k)=(1,5,5) のとき、39B-3C=-3 、13B-C=-1 、(B,C)=(0,1) です。
(A,D,k)=(1,7,7) のとき、55B-C=-6 、(B,C)=(0,6) です。
(A,D,k)=(2,5,2) のとき、15B-6C=63 、5B-2C=21 、(B,C)=(5,2),(7,7) です。
(A,D,k)=(2,6,3) のとき、23B-5C=-2 、(B,C)=(1,5) です。
まとめると、(A,B,C,D,k)=(1,0,1,5,5),(1,0,6,7,7),(2,5,2,5,2),(2,7,7,5,2),(2,1,5,6,3) 、
従って、1015(8) ,1067(8) ,2156(8) ,2525(8) ,2775(8) です。
[解答2]
求める数を八進法で表したときの数字を上から A,B,C,D とすれば、
k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A と書くことができます。
ここで、A,B,C,D,k は 7 以下の負でない整数で、k≧2,1≦A<D とします。
まず、512A+64B+8C+D≡512D+64C+8B+A≡A+B+C+D (mod 7) になり、
k(A+B+C+D)≡A+B+C+D (mod 7) 、(k-1)(A+B+C+D)≡0 (mod 7) 、
k=2,3,4,5,6,7 ですので、A+B+C+D≡0 (mod 7) になります。
ここで、kA≦7 だから、A≦3 、A+B+C+D=7,14,21 です。
また、k(512A+64B+8C+D)+(512A+64B+8C+D)=(512D+64C+8B+A)+(512A+64B+8C+D) 、
(k+1)(512A+64B+8C+D)≡0 (mod 9) 、(k+1)(-A+B-C+D)≡0 (mod 9) になり、
k=3,4,6,7 のとき、A+C≡B+D (mod 9) ですので、A+C と B+D の差が 0,9 、
和が 7,14,21 であり、和>差 で 和と差の偶奇は一致するので、
和が 14,差が 0 の場合 と 和が 21,差が 9 の場合しか考えられませんが、
和が 21,差が 9 の場合は、片方が 15 で、あり得ません。よって、A+C=B+D=7 です。
k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A より 512kA+64kB+8kC+kD=512D+64C+8B+A 、
512kA+64kB+8k(7-A)+k(7-B)=512(7-B)+64(7-A)+8B+A 、
(504k+63)A+(63k+504)B=4032-63k 、(8k+1)A+(k+8)B=64-k 、
k=3 のとき、25A+11B=61 、(A,B)=(2,1) 、(A,B,C,D,k)=(2,1,5,6,3) です。
k=4 のとき、33A+12B=60 、これを満たす (A,B)は存在しません。
k=6 のとき、49A+14B=58 、これを満たす (A,B)は存在しません。
k=7 のとき、57A+15B=57 、(A,B)=(1,0) 、(A,B,C,D,k)=(1,0,6,7,7) です。
k=2,5 のとき、k(512A+64B+8C+D)=512D+64C+8B+A より kD≡A (mod 8) 、
k=2 のとき、2D≡A (mod 8) ,A≦3 だから、A=2 、2D≡2 (mod 8) ,A<D だから、D=5 、
2(512・2+64B+8C+5)=512・5+64C+8B+2 より 120B-48C=504 、5B-2C=21 、
(B,C)=(5,2),(7,7) 、(A,B,C,D,k)=(2,5,2,5,2),(2,7,7,5,2) です。
k=5 のとき、5A≦7 だから、A=1 、5D≡1 (mod 8) だから、D=5 、
5(512・1+64B+8C+5)=512・5+64C+8B+1 より 312B-24C=-24 、13B-C=-1 、
(B,C)=(0,1) 、(A,B,C,D,k)=(1,0,1,5,5) です。
従って、2156(8) ,1067(8) ,2525(8) ,2775(8) ,1015(8) です。
[参考]
707(8)×1=0707(8) 777(8)×1=0777(8) 1067(8)×1=1067(8)
707(8)×2=1616(8) 777(8)×2=1776(8) 1067(8)×2=2156(8)
707(8)×3=2525(8) 777(8)×3=2775(8) 1067(8)×3=3245(8)
707(8)×4=3434(8) 777(8)×4=3774(8) 1067(8)×4=4334(8)
707(8)×5=4343(8) 777(8)×5=4773(8) 1067(8)×5=5423(8)
707(8)×6=5252(8) 777(8)×6=5772(8) 1067(8)×6=6512(8)
707(8)×7=6161(8) 777(8)×7=6771(8) 1067(8)×7=7601(8)
707(8)=1010(8)-0101(8) だから、512の位と 8の位が 1ずつ増え、64の位と 1の位が 1ずつ減ります。
777(8)=1000(8)-0001(8) だから、512の位が 1ずつ増え、1の位が 1ずつ減ります。
1067(8)=1100(8)-0011(8) だから、512の位と 64の位が 1ずつ増え、8の位と 1の位が 1ずつ減ります。
この中に、2525(8) ,2775(8) ,1067(8) ,2156(8) があり、その逆順が 倍数になることは明らかですが、
きちんと 検討しないと、1015(8) は 出てきません。
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