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[答100] 三角形の2等分

ヤドカリ

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[答100] 三角形の2等分


 AB=116, BC=159, CA=125 の△ABCの辺上の2点を結ぶ線分で、

 面積・周囲ともに等しい2つの部分に分けるものが3本あります。

 その3本の長さは?



[解答]

 同様の計算を3通りすることになりますので、文字である程度一般化しておきます。

 もとの三角形の3辺を a,b,c 、2等分する線分を書いてできる三角形の3辺を p,q,r 、

 a,b の間の角と p,q の間の角が共通、とします。求める線分の長さは r です。

 面積の条件より、pq=ab/2 、長さの条件より、p+q=(a+b+c)/2 、

 余弦定理より、(a2+b2-c2)/(2ab)=(p2+q2-r2)/(2pq)、

 右辺={(p+q)2-2pq-r2}/(2pq)={(2p+2q)2-8pq-4r2}/(8pq)

   ={(a+b+c)2-4ab-4r2}/(4ab) だから、

 2(a2+b2-c2)=(a+b+c)2-4ab-4r2

 4r2=(a+b+c)2-4ab-2(a2+b2-c2)、

 計算して、4r2=(a+b+c)(3c-a-b) になり、

 求める長さは、存在すれば、(1/2)√{(a+b+c)(3c-a-b)} になります。

 また、pq=ab/2, p+q=(a+b+c)/2 より、f(x)=2x2-(a+b+c)x+ab とおくと、

 p,q は、f(x)=0 の解で、

 f(x)の最小値は、f((a+b+c)/4)=-(a+b+c)2/8+ab、

 f(0)=ab>0,f(a)=a(a-c),f(b)=b(b-c) です。

 本問の場合、

 a+b+c=400 だから、p,q は、f(x)=2x2-400x+ab=0 の解で、

 求める長さは、(1/2)√{400(4c-400)}=20√(c-100) です。


(1) CA,AB上に端点をとる場合

 f(125)=125(125-159)<0 より、片方の解が125より大きい。

 つまり、CA, AB上に端点をとることができません。

 * 不等辺三角形の短い2辺上に端点をとることができません。

(2) AB,BC上に端点をとる場合

 f(0)>0, f(116)=116(116-125)<0, f(159)=159(159-125)>0 より、

 p<q とすれば、0<p<116<q<159 になります。

 BA上にBからの距離がp,BC上にBからの距離がq である端点がとれて、

 求める長さは、20√(125-100)=100 です。

 * 不等辺三角形の最短辺と最長辺に端点をとる場合は1通りです。

(3) BC,CA上に端点をとる場合

 f(0)>0, f(400/4)=-4002/8+159・125<0, f(125)=125(125-116)>0 より、

 p<q とすれば、0<p<100<q<125 になります。

 Cからの距離がp,q のどちらの端点もCA,CB 上にとれるから2通り考えられます。

 求める長さは、20√(116-100)=80 です。

 * 不等辺三角形の長い2辺上に端点をとる場合は、f(x)の最小値<0 ならば2通りです。

☆ 答は 100, 80, 80 としておきましょう。


★ 問題の候補として、元の三角形の3辺が 125,136,139 もありました。

 元の三角形の3辺が 725,769,1006 や 769,821,910 でもきれいな答になります。

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Comments 9

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ヤドカリ  
No title

考え方は皆さんほとんど同じでした。
辺を文字にせずに直接計算された方が多かったのですが、計算に御苦労されたと思います。
2等分する線分の端点を求める2次方程式も、直接解くととんでもない値が出て来ます。

スモークマン  
No title

わかり易い/上手い解法ですね♪
3本しかないことは巧く言えるものですね♪
直感は裏切られるもの...^^;

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
このようにすれば、解答の下の3問もそう難しくないです。

uch*n*an  
No title

文字を使うことも含めて,ほとんど,同じでした。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
チューリップが可愛いですね (o^-^o)

最近は、難しくて・・・ f(^_^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
出題時のコメントの式を見て、同じような計算をされていると思っておりました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
申し訳ないことに算数で解けて「なるほど」と思わせるような問題が中々できません。
それを作るのは非常に難しいです。

いっちゃん  
No title

お久しぶりです^^
記念すべき100問の答えは、やどかりさんのことだから100だと思っていました。。解き方はさっぱりですが。。笑
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
「最長のもの」という問題にすると答が100だけになるのですが、
あまりにもロコツなので、他のものも求める問題にしました。
そのために、同じ方のコメントが増えました。