[答1016] 内接円・外接円の半径
[答1016] 内接円・外接円の半径
3辺の長さがいずれも自然数で、3辺の長さの和が 40 である三角形において、
内接円の半径と外接円の半径の比が 3:7 であるとき、
最短の辺の長さは? また、最長の辺の長さは?
[解答]
3辺の長さを a,b,c とすれば、a+b+c=40 ,(a+b+c)/2=20 です。
面積を S ,内接円の半径を r ,外接円の半径 R とすれば、r/R=3/7 、
また、S=20r なので S/R=20r/R=60/7 、7S/R=60 、4RS=abc を乗じて、
28S2=60abc 、ヘロンの公式より S2=20(20-a)(20-b)(20-c) なので、
a<20 ,b<20 ,c<20 であり、28・20(20-a)(20-b)(20-c)=60abc 、
28(20-a)(20-b)(20-c)=3abc です。
従って、a,b,c のいずれかは 7の倍数となり、c を 7の倍数としても一般性を失いません。
c<20 なので、c=7 または c=14 です。
a+b=40-c なので、(20-a)(20-b)=400-20(40-c)+ab=ab+20c-400 になり、
28(20-a)(20-b)(20-c)=3abc より 28(ab+20c-400)(20-c)=3abc です。
c=7 のとき、28(ab-260)・13=3ab・7 、52(ab-260)=3ab 、49ab=52・260 になり、
ab は自然数になりません。
c=14 のとき、28(ab-120)・6=3ab・14 、4(ab-120)=ab 、ab=160 、
a,b は x2-26x+160=0 の解で 16,10 です。
従って、3辺は 16,10,14 で、最短の辺の長さは 10 ,最長の辺の長さは 16 です。
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