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[答1016] 内接円・外接円の半径

ヤドカリ

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[答1016] 内接円・外接円の半径


 3辺の長さがいずれも自然数で、3辺の長さの和が 40 である三角形において、

 内接円の半径と外接円の半径の比が 3:7 であるとき、

 最短の辺の長さは? また、最長の辺の長さは?


[解答]

 3辺の長さを a,b,c とすれば、a+b+c=40 ,(a+b+c)/2=20 です。

 面積を S ,内接円の半径を r ,外接円の半径 R とすれば、r/R=3/7 、

 また、S=20r なので S/R=20r/R=60/7 、7S/R=60 、4RS=abc を乗じて、

 28S2=60abc 、ヘロンの公式より S2=20(20-a)(20-b)(20-c) なので、

 a<20 ,b<20 ,c<20 であり、28・20(20-a)(20-b)(20-c)=60abc 、

 28(20-a)(20-b)(20-c)=3abc です。

 従って、a,b,c のいずれかは 7の倍数となり、c を 7の倍数としても一般性を失いません。

 c<20 なので、c=7 または c=14 です。

 a+b=40-c なので、(20-a)(20-b)=400-20(40-c)+ab=ab+20c-400 になり、

 28(20-a)(20-b)(20-c)=3abc より 28(ab+20c-400)(20-c)=3abc です。

 c=7 のとき、28(ab-260)・13=3ab・7 、52(ab-260)=3ab 、49ab=52・260 になり、

 ab は自然数になりません。

 c=14 のとき、28(ab-120)・6=3ab・14 、4(ab-120)=ab 、ab=160 、

 a,b は x2-26x+160=0 の解で 16,10 です。

 従って、3辺は 16,10,14 で、最短の辺の長さは 10 ,最長の辺の長さは 16 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

ミソハギ(禊萩)盆花と言われ、お盆に欠かせない花なんですね!
萩には似てないですが……

ニリンソウ  
No title

最近見かけるのが少なくなりました。
優しげでいいですね。
雨が降りそうで降らなくて待っています。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
ミソハギ もみじの里でも漸く咲きだしています

此方ではお盆の時期に咲く花なので「盆花」と呼んでいました

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
お盆に合う花としてミソハギの写真を載せました。
盆花または精霊花とでも言われる花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
こちらでも見かけることが少ないです。
この花が先祖の霊を待ってくれているようです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
もみじの里でも咲いているのですね。
この写真は、小林市の妻の実家の墓地の前で撮りました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
手計算でもなんとかなるものなのねぇ ^^;☆
わたしゃ最初から…放棄…Orz…
PCという安易な武器に頼ってしまいました…軟弱 ^^;;...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
手計算でできるように数値を設定しています。
PCでの計算は、確認用にお使いください。