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[答1017] 辺の長さ

ヤドカリ

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[答1017] 辺の長さ


 AB=BC,∠ABC=90゚,DA=50,DB=40,DC=10 である四角形ABCDにおいて、AB=BC=?


[解答1]

 AB=BC=x (30<x<50) とおき、余弦定理を使うと、

 cos∠ABD=(x2+402-502)/(2・40・x)=(x2-900)/(80x) 、

 cos∠CBD=(x2+402-102)/(2・40・x)=(x2+1500)/(80x) 、

 cos∠CBD=sin∠ABD だから、cos2∠ABD+cos2∠CBD=1 になって、

 (x2-900)2/(80x)2+(x2+1500)2/(80x)2=1 、(x2-900)2+(x2+1500)2=(80x)2

 2x4-5200x2+3060000=0 、x4-2600x2+1530000=0 、(x2-1700)(x2-900)=0 、

 x2=1700,900 、x=10√17 です。


[解答2]

 xy平面上で、A(0,a),B(0,0),C(a,0),D(p,q) とすれば、30<a<50 で、

 AD2=p2+(q-a)2=2500 ……(1)

 CD2=(p-a)2+q2=100 ……(2)

 BD2=p2+q2=1600 ……(3)

 (1),(3) より 2qa=a2-900 、 (2),(3) より 2pa=a2+1500 、

 (3) より (2pa)2+(2qa)2=1600・4a2 だから、

 (a2+1500)2+(a2-900)2=6400a2 、2a4-5200a2+3060000=0 、a4-2600a2+1530000=0 、

 (a2-1700)(a2-900)=0 、a2=1700,900 、a=10√17 です。


[解答3]

 D から AB,BCにおろした垂線を DG,DH とします。

 三平方の定理により、AG2+GD2=DA2 、AG2+BH2=2500 ……(1) 、

 BH2+DH2=DB2 、BH2+GB2=1600 ……(2) 、DH2+HC2=DC2 、GB2+HC2=100 ……(3) 、

 (1)-(2) より (AG+GB)(AG-GB)=900 、(2)-(3) より (BH+HC)(BH-HC)=1500 、

 AG+GB=AB=BC=BH+HC だから、(AG-GB)/(BH-HC)=900/1500=3/5 になり、

 AG-GB=3k ,BH-HC=5k とおけば、AG=GB+3k ,BH=HC+5k です。

 AG+GB=BH+HC に代入して、2GB+3k=2HC+5k 、GB=HC+k です。

 見易くするために、HC=x とおけば、

 GB=x+k ,AG=GB+3k=x+4k ,BH=x+5k ,AB=BC=2x+5k です。

 (2),(3) より BH2+GB2=16(GB2+HC2) 、BH2=15GB2+16HC2

 (x+5k)2=15(x+k)2+16x2 、x2+10kx+25k2=31x2+30kx+15k2

 10k2-20kx-30x2=0 、10(k-3x)(k+x)=0 、k=3x です。

 よって、GB=4x ,AG=13x ,BH=16x ,AB=BC=17x です。

 (3)に代入して、16x2+x2=100 、17x2=100 、(17x)2=1700 、

 17x=10√17 になり、AB=BC=10√17 です。


[解答4]

 △BCD≡△BAE となる点Eをとって、

 AからBEにおろした垂線の長さを a,AからBDにおろした垂線の長さを b とします。

 三平方の定理により、

 (40-a)2+b2=502 、a2+b2-80a=900 、

 (40-b)2+a2=102 、a2+b2-80b=-1500 、

 a2+b2=x とおけば、AB=√x で、

 x-80a=900 ,x-80b=-1500 、80a=x-900 ,80b=x+1500 になり、

 (80a)2+(80b)2=6400x に代入して (x-900)2+(x+1500)2=6400x 、

 2x2-5200x+3060000=0 、x2-2600x+1530000=0 、

 (x-1700)(x-900)=0 、x=1700,900 、√x>30 ですので、√x=10√17 です。

 なお、80a=x-900=800 、a=10 ですので、結局、∠AEB=∠CDB=90゚ でした。


[解答5]

 D の AB,BC,CA に関して対称な点をそれぞれ P,Q,R とすれば、

 BはPQの中点になり、PQ=2DB=80 ,

 △APRは等辺が 50 の直角二等辺三角形,△CRQは等辺が 10 の直角二等辺三角形 になり、

 RP=50√2 ,RQ=10√2 です。

 次に、RからPQにおろした垂線をRH とします。

 PH=PQ-QH=80-QH 、PH2=6400-160QH+QH2 、RP2-RH2=6400-160QH+RQ2-RH2

 RP2=6400-160QH+RQ2 、5000=6400-160QH+200 、160QH=1600 、

 QH=10 、RH2=RQ2-QH2=200-100=100 、RH=10 です。

 五角形APQCRの面積は、△APR+△CRQ+△RPQ=50・50/2+10・10/2+80・10/2=1700 、

 また、この面積は、直角二等辺三角形ABCの面積の2倍だから、

 1辺が AB=BC の正方形と等しくなりますので、AB=BC=10√17 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

名前探し当てました!
ハナチョウジというんですね~
花形がツキヌキニンドウそっくり~
赤い色がきれい!

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
爆竹草が賑やかですね
南国の空の下で咲く爆竹草は暑さ知らずに見えます!!

ナイス♪

樹☆  
No title

こんにちは
爆竹草・・なるほどと頷いてしまいました。
精霊流しのとき、すごいですよ。
この花を持って参加すればやけどもなさそうです。

ニリンソウ  
No title

面白い植物ですね。
賑やかだと思ったら爆竹草とは、見かけません。
南国の花なんですね。
残暑厳しいです、夜には庭で虫の声です。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私は爆竹草としか認識していませんでしたが、
ラッセリア,ハナチョウジの別名もあるのですね。
赤い爆竹が沢山ありました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
爆竹草は道の駅フェニックスの駐車場の周りに咲いていたものです。
本当に、南国の空の下に似合いますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
精霊流しで爆竹を使うのですか? 知りませんでした。
ご先祖様をにぎやかに送るのですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
通販でも売っているようですが、私も此方で見た記憶がありません。
宮崎の道の駅に沢山咲いていました。