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[答1018] 長方形の折り紙

ヤドカリ

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[答1018] 長方形の折り紙


 図のように、長方形ABCDがあって、ABを 1:4 に内分する点P と CDを 1:4 に内分する点Q を

 結ぶ線分で折り、B,Cが移動した点を B',C' とし、折ってできる辺ともとの辺との交点を

 Aに近い方から E,F,G とし、もとの長方形ABCDの面積を S とします。

 AP:DF=3:11 ,五角形FEPQGの面積が 205/3 のとき、S=?


[解答1]

 AP=3k,AE=3kx,PE=3ky とすれば、△APE∽△DFG≡△B'FE ,AP:DF=3:11 なので、

 DF=B'F=11k,DG=B'E=11kx,FG=FE=11ky 、AB=5AP=5・3k=15k になります。

 三平方の定理より、PE2=AE2+AP2 、(3ky)2=(3kx)2+(3k)2

 y2-x2=1 、(y+x)(y-x)=1 ……(1) です。

 また、PB=4AP より PE+EB'=4AP 、3ky+11kx=4・3k 、3y+11x=12 、

 7(y+x)-4(y-x)=12 で、(1)より {7(y+x)}{-4(y-x)}=-28 だから、

 7(y+x),-4(y-x) は t の2次方程式 t2-12t-28=0 の解になり、

 (t-14)(t+2)=0 、t=14,-2 だから、7(y+x)=14,-4(y-x)=-2 、

 y+x=2,y-x=1/2 、x=3/4,y=5/4 です。

 次に、AD=AE+EF+FD=3kx+11ky+11k=9k/4+55k/4+11k=27k 、S=15k・27k=405k2 で、

 五角形FEPQGの面積は 205/3=S/2-△APE-△DFG だから、

 205/3=S/2-3k・3kx/2-11k・11kx/2 、205/3=405k2/2-195k2/4 、

 41/3=81k2/2-39k2/4 、123k2/4=41/3 、k2=4/9 、

 よって、S=405k2=405・4/9=180 です。


[解答2]

 AP:DF=3:11 なので、AP=3k,DF=11k とすれば、AB=5AP=5・3k=15k です。

 PQは長方形ABCDの中心を通るので、この図形は PQの垂直二等分線に関して対称です。

 PQの垂直二等分線は F を通り、BCとの交点を F' とすれば、FF'⊥PQ なので、

 図の黄色で表された FF' を対角線とする長方形と PQ を対角線とする長方形は相似ですので、

 (AD-2FD):AB=(AB-2AP):AD 、(AD-2・11k):15k=(15k-2・3k):AD 、

 (AD-22k):15k=9k:AD 、AD2-22kAD-135k2=0 、(AD-27k)(AD+5k)=0 、

 AD=27k 、従って、S=15k・27k=405k2 です。

 よって、黄色で表された長方形の辺の比は (AB-2AP):AD=(15k-2・3k):27k=1:3 です。

 ここで、BCの延長とPQの延長の交点を H とすれば、QC:CH=1:3 、

 CH=3QC=3AP=3・3k=9k になり、

 △GQC'∽△GHC で、相似比は QC':CH=QC:CH=1:3 だから、3GQ=GH,3GC'=GC です。

 3GC'=GC だから、3(GH-HC')=GQ+QC 、3(3GQ-HC)=GQ+AP 、3(3GQ-9k)=GQ+3k 、

 GQ=15k/4 になり、DG=DC-GQ-QC=15k-15k/4-3k=33k/4 、

 △DFG=DF・DG/2=11k(33k/4)/2=363k2/8 になり、

 △APE∽△DFG で、相似比が AP:DF=3:11 なので、△APE=(9/121)△DFG 、

 △APE+△DFG=(130/121)△DFG=(130/121)・363k2/8=195k2/4 です。

 五角形FEPQGの面積は 205/3=S/2-(△APE+△DFG) だから、

 205/3=405k2/2-195k2/4 、41/3=81k2/2-39k2/4 、

 123k2/4=41/3 、k2=4/9 、S=405k2=405・4/9=180 です。

 三角関数を避けましたが、倍角の公式を使うと tanθ=1/3 のとき tan2θ=3/4 ですので、

 △EAP,△EB'F,△GDF,△GC'Q が 345 の直角三角形であることが分かります。


☆ k=2/3 だから、AB=15k=10 ,AD=27k=18 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

細い花びらに負けじと長くしべ・・・

ニリンソウ  
No title

これ解らん?!
浜辺の花かな?台風の影響ありますか
こちらは暑くて(フェーン現象)雨も無くて
ぐったりです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
これも道の駅フェニックスで撮りました。
濃い緑の中に咲いた南国の花、きれいに見えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
ハマユウの花だと思います。道の駅フェニックスに咲いていました。
普通のハマユウと違って赤みを帯びていたので撮りました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
折り紙の問題としては思いの外難しいものね ^^;
算額問題として奉納されててもいい気がしたり☆
わたしゃ…手計算じゃ無理そうにて…^^;;
PCで方程式を解かせてしまいました…Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
同じ様な図でもどこを既知とするかで難易が違ってきます。
この問題も縦横の長さと 4:1 を与えて五角形の面積を求める問題だと楽です。

樹☆  
No title

こんばんは
真っ白のハマユウは知ってますが、こんな色の花も
あるんですね。
宮崎の旅・・満喫されたようですね。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私もこの色は初めて見たので撮りました。
少ししかありませんでしたが、こんなのもあるのだとちょっと驚きでした。