[答1018] 長方形の折り紙

[答1018] 長方形の折り紙


　図のように、長方形ABCDがあって、ABを 1：4 に内分する点P と CDを 1：4 に内分する点Q を

　結ぶ線分で折り、B，Cが移動した点を B'，C' とし、折ってできる辺ともとの辺との交点を

　Aに近い方から E，F，G とし、もとの長方形ABCDの面積を S とします。

　AP：DF＝3：11 ，五角形FEPQGの面積が 205/3 のとき、S＝？


[解答1]

　AP＝3k，AE＝3kx，PE＝3ky とすれば、△APE∽△DFG≡△B'FE ，AP：DF＝3：11 なので、

　DF＝B'F＝11k，DG＝B'E＝11kx，FG＝FE＝11ky 、AB＝5AP＝5･3k＝15k になります。

　三平方の定理より、PE²＝AE²＋AP² 、(3ky)²＝(3kx)²＋(3k)² 、

　y²－x²＝1 、(y＋x)(y－x)＝1 ……(1) です。

　また、PB＝4AP より PE＋EB'＝4AP 、3ky＋11kx＝4･3k 、3y＋11x＝12 、

　7(y＋x)－4(y－x)＝12 で、(1)より ｛7(y＋x)｝｛－4(y－x)｝＝－28 だから、

　7(y＋x)，－4(y－x) は t の２次方程式 t²－12t－28＝0 の解になり、

　(t－14)(t＋2)＝0 、t＝14，－2 だから、7(y＋x)＝14，－4(y－x)＝－2 、

　y＋x＝2，y－x＝1/2 、x＝3/4，y＝5/4 です。

　次に、AD＝AE＋EF＋FD＝3kx＋11ky＋11k＝9k/4＋55k/4＋11k＝27k 、S＝15k･27k＝405k² で、

　五角形FEPQGの面積は 205/3＝S/2－△APE－△DFG だから、

　205/3＝S/2－3k･3kx/2－11k･11kx/2 、205/3＝405k²/2－195k²/4 、

　41/3＝81k²/2－39k²/4 、123k²/4＝41/3 、k²＝4/9 、

　よって、S＝405k²＝405･4/9＝180 です。


[解答2]

　AP：DF＝3：11 なので、AP＝3k，DF＝11k とすれば、AB＝5AP＝5･3k＝15k です。

　PQは長方形ABCDの中心を通るので、この図形は PQの垂直二等分線に関して対称です。

　PQの垂直二等分線は F を通り、BCとの交点を F' とすれば、FF'⊥PQ なので、

　図の黄色で表された FF' を対角線とする長方形と PQ を対角線とする長方形は相似ですので、

　(AD－2FD)：AB＝(AB－2AP)：AD 、(AD－2･11k)：15k＝(15k－2･3k)：AD 、

　(AD－22k)：15k＝9k：AD 、AD²－22kAD－135k²＝0 、(AD－27k)(AD＋5k)＝0 、

　AD＝27k 、従って、S＝15k･27k＝405k² です。

　よって、黄色で表された長方形の辺の比は (AB－2AP)：AD＝(15k－2･3k)：27k＝1：3 です。

　ここで、BCの延長とPQの延長の交点を H とすれば、QC：CH＝1：3 、

　CH＝3QC＝3AP＝3･3k＝9k になり、

　△GQC'∽△GHC で、相似比は QC'：CH＝QC：CH＝1：3 だから、3GQ＝GH，3GC'＝GC です。

　3GC'＝GC だから、3(GH－HC')＝GQ＋QC 、3(3GQ－HC)＝GQ＋AP 、3(3GQ－9k)＝GQ＋3k 、

　GQ＝15k/4 になり、DG＝DC－GQ－QC＝15k－15k/4－3k＝33k/4 、

　△DFG＝DF･DG/2＝11k(33k/4)/2＝363k²/8 になり、

　△APE∽△DFG で、相似比が AP：DF＝3：11 なので、△APE＝(9/121)△DFG 、

　△APE＋△DFG＝(130/121)△DFG＝(130/121)･363k²/8＝195k²/4 です。

　五角形FEPQGの面積は 205/3＝S/2－(△APE＋△DFG) だから、

　205/3＝405k²/2－195k²/4 、41/3＝81k²/2－39k²/4 、

　123k²/4＝41/3 、k²＝4/9 、S＝405k²＝405･4/9＝180 です。

　三角関数を避けましたが、倍角の公式を使うと tanθ＝1/3 のとき tan2θ＝3/4 ですので、

　△EAP，△EB'F，△GDF，△GC'Q が 345 の直角三角形であることが分かります。


☆ k＝2/3 だから、AB＝15k＝10 ，AD＝27k＝18 です。

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