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[答1020] 長方形の中の長方形

ヤドカリ

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[答1020] 長方形の中の長方形


 AB=30 ,AD=58 の長方形ABCDがあって、AP,ASの長さが自然数になるように、

 辺AB,BC,CD,DA上に P,Q,R,S をとり、長方形PQRSを描くとき、長方形PQRSの面積は?


[解答1]

 AP=CR=a,BP=DR=b,CQ=AS=c,DS=BQ=d とすれば、a+b=30,c+d=58 、

 △APS∽△DSR だから、AP:DS=AS:DR 、AP・DR=AS・DS 、ab=cd です。

 ab=cd=k>0 とおけば、a,b は x2-30x+k=0 の解 、c,d は x2-58x+k=0 の解です。

 判別式は、152-k ,292-k であり、これが平方数です。

 152-k が平方数だから、0≦152-k≦224 、292-152=616 を加えて、

 616≦292-k≦840 、292-k も平方数だから、292-k=625,676,729,784 、

 292-152=616 を減じて、152-k=9,60,113,168 、

 152-k が平方数だから、152-k=9 、k=216 です。

 a,b は x2-30x+216=0 の解で、12 と 18 、

 c,d は x2-58x+216=0 の解で、4 と 54 です。

 長方形PQRS=長方形ABCD-2△APS-2△PBQ=30・58-ac-bd で、

 1740-12・4-18・54=720 と 1740-12・54-18・4=1020 です。


[解答2]

 長方形ABCD,長方形PQRSの中心は一致するので、この中心を O とします。

 また、ABの中点とPの距離を m,ADの中点とPの距離を n (0≦m<15,0≦n<29) とします。

 OS=OP だから、152+n2=292+m2 、n2-m2=292-152

 (n+m)(n-m)=44・14 です。

 n+m,n-m は 両方偶数または両方奇数で 積が偶数だから、両方偶数です。

 (n/2+m/2)(n/2-m/2)=2・7・11 で、0<n/2-m/2<n/2+m/2<22 だから、

 (n/2-m/2 ,n/2+m/2)=(14,11) 、m=3,n=25 です。

 長方形PQRS=長方形ABCD-2△APS-2△PBQ

  =30・58-(15+m)(29-n)-(15-m)(29+n),30・58-(15+m)(29+n)-(15-m)(29-n)

  =870±2mn=870±2・25・3=1020,720 です。


☆ 2種類の答の和が 長方形ABCDの面積と等しくなることは、

  下図のように、直角三角形の部分を組み合わせれば、

  青の部分と水色の部分の面積が等しく、赤の部分とピンクの部分の面積が等しいことから分かります。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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ナツズイセンかしら・・・
雨に濡れて花びらが透けるようです~

さっちゃんこ  
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おはようございます
ナツズイセンのようですね
雨にぬれ透き通るような花弁がとても奇麗ですね

ナイス☆彡

uch*n*an  
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私は出だしは[解答1]でしたが出てきた式の対称性から[解答2]の図形的状況を読み取り,
式の上で[解答2]を再現するような感じで解きました。対称性をどう扱うか迷ったのですが,
式で押し通す方がスッキリしているように思ったのでそうまとめました。
対称性を図の方で扱えば[解答2]の立式は自然ですね。[解答1]はテクニックとして面白いです。
☆は面白いです。これに気付いて何かできないかとも思ったのですが思い付けず。

ニリンソウ  
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ナツズイセンでしょうか、かわいいピンクですね。
雨?
台風が心配ですね、フェ~ン現象で熱風です。
夕方には水まきしないと花も木も夜を越せないと思ってます。

ナイス

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
雨の翌朝の散歩のときに撮りました。
水滴が花を生き生きさせているようでした。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
これも小林市に滞在していた時の朝の散歩で撮りました。
こちらではあまり見ないのですが、小林では何度か見ました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
私は対称性を意識した解答にしました。
対称性にこだわり過ぎたかも知れません。
☆を意識して答だけだすなら、AP≦15,AS≦29 として求めて、
その答と、長方形の面積から引いた答を書くのが早いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらは台風の影響でかなりの雨が降りました。
気温もあまり上がっていませんが、蒸し暑いです。
フェーン現象の熱風よりましかも知れません。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
これもよくわからず…^^;
わたしには難しい問題が続く~よ~どこまでも~^^;; Orz…

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私のこのブログでは数学を楽しんでもらえればいいので、
スモークマンさんのお好きなようにお付き合い下さい。
問題を解くにあたっては、
問題の値打ちがなくなるようなPCの使い方でなければ構いません。

樹☆  
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そちらは台風の影響はありませんか?
お出かけのときは気をつけてくださいね。
ナツズイセンなのですね。
美しいです。

やはりお花も男性も雫でいっそうきれいになるものでしょうか?

ヤドカリ  
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樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
台風の影響は、昨日の強い雨だけでした。
水もしたたる花はきれいですね。男性はその人によります。