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[答1022] 135゚の角を含む八角形

ヤドカリ

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[答1022] 135゚の角を含む八角形


 長方形の頂点と辺の中点を図のようにつなぐと中央に八角形ができます。

 この長方形の周囲の長さが 14√6 で、八角形の内角の何れかが 135゚ であるとき、

 この八角形の面積は?


[解答]

 長方形の横を 2a,縦を 2b とします。

 図のように角α,β,γを決めれば、tanαtanβ={b/(2a)}{a/(2b)}=1/4 となり、

 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)≧2√(tanαtanβ)/(1-tanαtanβ)=4/3 、

 α+β>45゚ 、γ=90゚+α+β>135゚ です。

 よって、8個の内角のうち、右上,左上,左下,右下の4個の角は 135゚ より大きいです。

 上下の内角,左右の内角のどちらを 135゚ としても一般性を失いませんので、

 上下の角を 135゚ とすれば、2α+135゚=180゚ ですので α=22.5゚ になります。

 上に 等辺が 2a の直角二等辺三角形をつければ、頂角が 45゚ の二等辺三角形ができ、

 2a+b=2a√2 、b=2a(√2-1) です。

 長方形の周囲の長さは、4a+4b=4a+4・2a(√2-1)=4(2√2-1)a=14√6 なので、

 2(2√2-1)(2√2+1)a=(7√6)(2√2+1) 、2a=(√6)(2√2+1) 、4a2=6(9+4√2) 、

 また、4a+4b=14√6 より 4b=14√6-4a になり、

 4ab=(7√6)(2a)-4a2=(7√6)(√6)(2√2+1)-6(9+4√2)=6(10√2-2) となって、

 もとの長方形の面積が求まります。

 右図のように、長方形の対角線を描いて、右上の直角三角形に着目すれば、

 2本の中線の交点が重心であるので、

 長方形の中心と頂点を結ぶ線分を 1:2 に内分する点は 八角形の頂点になり、

 明らかに 長方形の中心と辺の中点を結ぶ線分の中点も 八角形の頂点になります。

 よって、八角形の面積は 長方形の面積の (1/3)(1/2)=1/6 で、10√2-2 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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シコンノボタンでしょうか~
すっきりと咲いて・・・
長い雄しべが印象的
花弁の鮮やかな色も一日花なんですね~

アキチャン  
No title

おはようございます。
ほんと、雄しべがユニーク♪艶やかな紫色ですね(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます!!
紫紺ノボタンですネ!!
紫の此の高貴な色が大好きです!!
温度を保てば年中咲いてくれる様です♪

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
やっぱり難しかったのね ^^;
どこからとかかったらいいのかさっぱりわからず…眺めせしまに…
time up…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シコンノボタンのの紫は鮮やかですね。
仰る通り、長い雄蕊も目立ちますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
よく見る花ですが、紫色に気品があります。
仰る通り、目立つ雄蕊はユニークです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
温度管理すれば、年中見られるとは知りませんでした。
仰る通り、この紫の色は高貴ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
簡単なようで意外に難しかったかも知れませんね。
まず、どこが135゚になり得るかを考えないといけません。

ニリンソウ  
No title

「紫紺の牡丹」漢字ではこれかか?
ただの紫じゃない、ただの紺でもない
やっぱり「紫紺」なのでしょう、命名者も苦労の末かな
葉は全くボタンとは違いますね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
漢字では「紫紺野牡丹」ですね。
「野牡丹」は記憶にないのですが、「牡丹」とは違うようですね。

樹☆  
No title

寒さに強くないお花もきちんと管理すれば
冬越えできるのですね。
何とも言えないこの色合いがすてきです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は冬には見たことがないのですが、
毎年見られたらそれでいいです。
紫色が特徴的ですね。